Cahit Arf Matematik Günleri / Birinci Gün 17 Nisan 2002-3

2002²⁰⁰² sayısı 5’e, 7’ye ve 19’a bölündüğünde kalanlar kaçtır? (1, 2, 2 puan) 

Çözüm : 

2002²⁰⁰² = 2²⁰⁰² = 4¹⁰⁰¹ = (-1)¹⁰⁰¹ = -1 = 4 (mod 5).

2002²⁰⁰² = (7 x 286)²⁰⁰² = 0 (mod 7).

2002²⁰⁰² =7²⁰⁰² =7^{3x667 + 1} = (7³)⁶⁶⁷ x 7 = 7 (mod 19) çünkü 7³ = 49 x7 = 11 x 7 = 77 =1 (mod 19).

Cahit Arf Matematik Günleri / Birinci Gün 17 Nisan 2002-2

Problem:

2. a ve b sayıları 11x² - 3x - 5 = 0 denkleminin iki çözümü olsun.

(1 + a + a² + a³ + ...) (1 + b + b² + b³ + ...)

 sayısını hesaplayın. (10 puan)

Cahit Arf Matematik Günleri / Birinci Gün 17 Nisan 2002-1

Problem:

1. ARF sözcüğünün tüm harflerini kullanarak (anlamlı ya da anlamsız) şu sözcükleri yazabiliriz:

AFR, ARF, FAR, FRA, RAF, RFA.

YASA sözcüğünün tüm harflerini kullanarak 12 sözcük yazabiliriz:

AASY, AAYS, ASAY, ASYA, AYAS, AYSA,

SAAY, SAYA, SYAA, YAAS, YASA, YSAA

1a. ÜÇGEN sözcüğünün tüm harflerini kullanarak kaç sözcük yazabilirsiniz? (Sözcükleri teker teker bulup listelemeniz gerekmez; sadece kaç tane yazılabileceğini bulun.) (1 puan)

1b. CAHİTARF sözcüğünün tüm harflerini kullanarak kaç sözcük yazabilirsiniz? (A harfini iki kez kullanacaksınız, aşağıdaki sorularda da öyle.) (2 puan)

1c. MATEMATİK sözcüğünün tüm harflerini kullanarak kaç sözcük yazabilirsiniz? (2 puan)

1d. DERECE sözcüğünün tüm harflerini kullanarak kaç sözcük yazabilirsiniz? (2 puan)

1e. İKİBİNİKİ sözcüğünün tüm harflerini kullanarak kaç sözcük yazabilirsiniz? (3 puan)

Karmaşık Sayılar

Karmaşık sayılarla ilgili güzel bir dökümana buradan ulaşabilirsiniz...İyi çalışmalar...

Matematik Konuları ve Aralarındaki İlişki

Aşağıdaki akış şeması matematiğin bir bütün olduğunu ispatlar gibi değil mi?

Yeni Eğitim/Öğretim Yılı Başladı

Eylül ayının en büyük özelliği eğitim/öğretim yılının başlaması...İlk,orta ve yüksek öğrenimde dersler başladı artık.
[Gazetelerde ve televizyonlarda "start aldı" diye geçiyor hala :) mi :( mı]
Dolayısıyla sınav/yazılı/ödev dönemi de başladı...Blogumda ki son bir haftalık ziyaretçi sayısındaki yaklaşık 6 katlık artış da bunun göstergesi olsa gerek...Bu bloga başlarken sadece "yetebildiğim ölçüde" yüksek/akademik matematik paylaşımları yapmayı amaçlamıştım...Ama zamanla değişen şartlar ve gelen uyarı/istekler ilk ve orta öğrenimdeki öğrenci arkadaşlarımıza da gereken konularda elimden geldiği ölçüde yardımcı olmam konusunda beni yönlendirdi...Dersanelerde yaklaşık 7 yıl verdiğim emek neticesinde elimde sayısız kaynak birikti...Bunların bir kısmını matematiksorusu.blogspot.com adresinde paylaşıma sunmuştum ama ne yazık ki zamanla bir kısmı "dosya yükleme(upload)" sitelerinin sunucularından silindi...Şu anda da devam eden askerlik hizmetimin el verdiği ölçüde fırsat buldukça bu kaynakları paylaşmaya çalışacağım...Sizler ihtiyaç duyduğunuz konuyla ilgili kaynak/test isteklerinizi matematiksorusu@hotmail.com adresinden bana iletebilirsiniz...Ayrıca matematikcafe.net sitesinde de benim ve diğer öğretmen/yönetici arkadaşlarımın paylaşıma sunduğu her dersten binlerce kaynaktan da yararlanabilirsiniz...
Tüm öğretmen ve öğrencilere başarı,huzur,sağlık ve mutluluk dolu bir eğitim yılı diliyorum...

Matematik Cep Kitapçığı

Lise matematiğini ele alırsak, öğrencilerin birçok konuya hakim olması gerektiğini biliyoruz...Trigonometri,türev,integral,matris...Bunlarla ilgili birçok formülü akılda tutmak bazen zor olabiliyor...Formül ezberlemeye her ne kadar karşı olursak olalım, zaman tasarrufu açısından bazı formüllerin akılda tutulması gerektiği bir gerçek...

Bütün matematik konularına ait özet bilgilere ve formüllere ulaşabileceğiniz bir cep kitapçığına buradan ulaşabilirsiniz...

‘Matematiğin Nobeli’ Gromov’a verildi

‘Matematiğin Nobeli’ sayılan Abel ödülü, bu sene Rus kökenli Fransız matematikçisi Mihail Leonidoviç Gromov’un oldu.

OSLO -Norveç’teki Abel Komitesi, 2002 yılından bu yana dağıtılan ödülün, bu kez "derinlikli ve yaratıcı özgün çalışmaları" için Mikhail Leonidoviç Gromov’a verildiğini açıkladı.
Paris yakınlarındaki Yüksek Bilim Araştırmaları Enstitüsü’nde profesör olan Gromov’un, "geometriye devrimci katkılarda bulunduğu" belirtildi. 1943’te SSCB’de doğan Gromov, 1992’de Fransız uyruğuna geçmişti. Matematikçi, altı milyon Norveç Kronluk (yaklaşık 700 bin Avro) ödülü, 19 Mayıs'ta Oslo’da düzenlenecek törende Norveç Kralı Harald’ın elinden alacak.
Ödül, 1829’da ölen Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel adına veriliyor.(aa)

Matematik Soru Çözümleri

Sadece matematik soru çözümleri içeren, sade ve reklamsız bir blog oluşturmaya çalışıyorum...

Amaç, konuya yeteri kadar hakim olan bireylere, çözümlü sorularla yardımcı olabilmek...

Yeni bir blog olduğundan şimdilik bir başlangıç yapabildim...

Çözümlü sorularınızı veya çözülmesini istediğiniz sorularınızı

matematiksorusu@hotmail.com
matematiksorusu@windowslive.com

elektronik posta adreslerine gönderebilirsiniz...

Bu adresleri, değerli matematik öğretmeni arkadaşlarımla beraber kullanıyoruz...

Askerlik sonrası bu blogu bir hayli geliştireceğim inşallah...

Hayırlı olsun:)

Penaltının Formülü Bulundu

Bilim insanları penaltının nasıl gol olacağını buldu.

İngiltere'de bilim insanları günler süren çalışmaların ardından bir penaltı atışının 90'dan nasıl gol olacağının formülünü buldu.
Penaltı zor iş. Topun başına geldiğiniz anda zaten 1-0 yenik başlıyorsunuz mücadeleye. Zira olağan kabul edilen gol olması. Bugüne kadar penaltı kurtaramadığı için bir takımdan gönderilen ya da çok eleştirilen bir kaleci olmamıştır. Söz konusu kaleci zaten kötü bir kaleciyse ve bunun üzerine bir de penaltı başarısızlığı eklenirse eleştiri olabilir.

PENALTI DEYİNCE AKLA GELEN İLK KALECİ, HAYRETTİN

Yıllar önce Ankara'da Gençlerbirliği ile Galatasaray arasında oynanan bir Türkiye Kupası maçında Hayrettin Demirbaş'ın 18-17 biten penaltı vuruşlarının 16'sında iki dizinin üzerine çöküşü vardır. 16 penaltının hepsinde aynı köşeye yatsa, elbet birini kurtarırdı lafları çok edilmiştir daha sonraları. Tabii zaten kaleciliği de dillere destanken yine alay konusu olmuştur Hayrettin. Böyle ilginç durumlar olmadıkça kaleci rahattır penaltıda. Seri penaltı vuruşları sırasında örneğin, yukarıdaki absürd durumlar söz konusu olmadıkça, maçın kaybedilmesi halinde penaltıları kurtaramayan kaleciye değil, penaltıları kaçıran futbolcuya kızılır. Dolayısıyla kaleci rahattır, futbolcunun topu ağlara yollaması olağan, kaçırması olağandışıyken kalecinin golü yemesi olağan, kurtarması olağan dışıdır.


PENALTIDA ALTINCI HİS

Sahanın en zor mevkisini kollayan yalnız adam kalecinin en güçlü olduğu an, o penaltı vuruşudur. Ve evet bu bir sezgi ve tecrübe işidir. Bir kere topa bakarak hareketlenmeniz size çok fazla zaman kaybettirecektir, bu yüzden de kalecilerin hemen hepsi penaltı vuruşlarından önce hareketlenmeye başlarlar, kurtarmak için oyuncunun topa gelişindeki ayak hareketleri, yüz mimikleri, vücudunun aldığı şekli iyi analiz etmek önemlidir. Bu da tecrübe ve biraz da sonradan kazanılmayan, doğuştan gelen altıncı histir.



EN FAZLA 5-6 ADIM GERİYE, EN AZ 104 KM HIZLA...

Liverpool'daki John Moores Üniversitesi'ndeki mühendisler, geniş bir veri tabanını önlerine alıp mükemmel penaltı vuruşunun formülünü ortaya çıkarmaya çalışmışlar. Ortaya çıkan sonuç şu: Toptan gerilirken atmanız gereken adım maksimum 5 veya 6. Gerildiğiniz anda ve vuruşu yaparken topa 20-30 derecelik bir açınız olması ve topun hızının en az 104 kilometre olması gerekiyor. Topun kale çizgisinin geçtiği yer ise iki yan direkten herhangi birisi ile üst düreğin 50 santimetre uzaklıktan kesiştiği yer.


Buna benzer bir çalışmayı Schalke 04, 1997 UEFA Kupası finalinde Inter ile oynadıkları maçta yapmış ve Jens Lehmann Alman yetkililerin de desteği ile maçın penaltılara kalma ihtimaline karşı, Interli oyuncuların bundan önceki maçlarda nasıl penaltı attıklarını inceleyerek çalışmıştı. Sonuçta iki ayağı da 1-0 biten maçın sonunda San Siro'daki penaltılarda Zamorano'nun penaltısını kurtarmış, Aron Winter de topu dışarı atınca kupayı Gelsenkirchen'e getirmişti.

Akşam Gazetesi

Ziyaretçi İstatistiklerim

Genelde akademik düzeyde sayılabilecek matematik yazıları yayınlanmasına rağmen blogumun ziyaretçi sayısı hiç de fena değil...Bugün bir göz attım istatistiklere...




Ortalama günlük 100-120 civarı ziyaretçim var...Blogumda yorum yazılmasa da ziyaretçi sayısı iyi sayılır:) Yorum yazmaktan çekinmeyin...Sevgilerimle...

Mersenne Asalları Üzerine Bir Karalama

Matematikle biraz içli-dışlı olanlarımız Mersenne adını mutlaka duymuşlardır.Tam adı Marin Marsenne olan bu Fransız matematikçi, genelde ünlü matematikçilerin babalarının yaptığı gibi, kilisede din adamı olmasını isteyen babasını dinlemeyip, Paris'e gider ve 60 yıllık hayatına (1588-1648) anlam kazandıracak şeylerle uğraşır.
Marsenne adı, kendi ismiyle anılan "Mersenne Asalları" ile anılır.Mersenne; p bir asal sayı iken, M=2^p - 1 şeklindeki tüm sayılarında asal olduğunu düşünmüştü...Gerçektende;

p=2=>M=3

p=3=>M=7

p=5=>M=31

p=7=>M=127

bir-iki deneme ile asal sayılar elde ediliyor...Fakat, bunu ispatlamak gerekiyordu...Acaba, her p asal sayısı için M bir asal sayımıydı?Matematiksel genellemeler üzerine yapılacak hatalardan bahsetmiştim.Denemelere devam edelim:

p=11=>M=2047=23.89...Hayal kırıklığı!!!

11 Mersenne için bir hayal kırıklığı yaratmadı, tabii...Çünkü, önermenin çift taraflı olmasa da yeter şartı doğruydu...Yani, M asal iken, p kesinlikle asaldı...Sayılarla biraz daha oynayalım...

p=13=>M=8191 de asaldır...

p=31=>M=2147483647 de asaldır...

p=101=>M=2535301200456458802993406410751=7432339208719.341117531003194129 asal değildir...Bu hesaplamaları Maple ile yaptım.

n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, için elde edilebilecek Mersenne asalları;

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647 dır.Grafiksel olarak Mersenne asallarının dağılımı aşağıdakine benzer:




Matematikseverler hala Mersenne sayılarını elde etmek için uğraşıyorlar.Bunun için bilgisayarların yardımını alıyorlar doğal olarak...Acaba bilgisayarlar olmasa ne yapardık?Aşağıdaki tabloda bilinen ve bulanabilen Mersenne asallarını görebilirsiniz:

#		digits	year	discoverer (reference)	value
1	2	1	antiquity		3
2	3	1	antiquity		7
3	5	2	antiquity		31
4	7	3	antiquity		127
5	13	4	1461	Reguis (1536), Cataldi (1603)	8191
6	17	6	1588	Cataldi (1603)	131071
7	19	6	1588	Cataldi (1603)	524287
8	31	10	1750	Euler (1772)	2147483647
9	61	19	1883	Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)	2305843009213693951
10	89	27	1911	Powers (1911)	618970019642690137449562111
11	107	33	1913	Powers (1914)	162259276829213363391578010288127
12	127	39	1876	Lucas (1876)	170141183460469231731687303715884105727
13	521	157	Jan. 30, 1952	Robinson (1954)	68647976601306097149...12574028291115057151
14	607	183	Jan. 30, 1952	Robinson (1954)	53113799281676709868...70835393219031728127
15	1279	386	Jun. 25, 1952	Robinson (1954)	10407932194664399081...20710555703168729087
16	2203	664	Oct. 7, 1952	Robinson (1954)	14759799152141802350...50419497686697771007
17	2281	687	Oct. 9, 1952	Robinson (1954)	44608755718375842957...64133172418132836351
18	3217	969	Sep. 8, 1957	Riesel	25911708601320262777...46160677362909315071
19	4253	1281	Nov. 3, 1961	Hurwitz	19079700752443907380...76034687815350484991
20	4423	1332	Nov. 3, 1961	Hurwitz	28554254222827961390...10231057902608580607
21	9689	2917	May 11, 1963	Gillies (1964)	47822027880546120295...18992696826225754111
22	9941	2993	May 16, 1963	Gillies (1964)	34608828249085121524...19426224883789463551
23	11213	3376	Jun. 2, 1963	Gillies (1964)	28141120136973731333...67391476087696392191
24	19937	6002	Mar. 4, 1971	Tuckerman (1971)	43154247973881626480...36741539030968041471
25	21701	6533	Oct. 30, 1978	Noll and Nickel (1980)	44867916611904333479...57410828353511882751
26	23209	6987	Feb. 9, 1979	Noll (Noll and Nickel 1980)	40287411577898877818...36743355523779264511
27	44497	13395	Apr. 8, 1979	Nelson and Slowinski	85450982430363380319...44867686961011228671
28	86243	25962	Sep. 25, 1982	Slowinski	53692799550275632152...99857021709433438207
29	110503	33265	Jan. 28, 1988	Colquitt and Welsh (1991)	52192831334175505976...69951621083465515007
30	132049	39751	Sep. 20, 1983	Slowinski	51274027626932072381...52138578455730061311
31	216091	65050	Sep. 6, 1985	Slowinski	74609310306466134368...91336204103815528447
32	756839	227832	Feb. 19, 1992	Slowinski and Gage	17413590682008709732...02603793328544677887
33	859433	258716	Jan. 10, 1994	Slowinski and Gage	12949812560420764966...02414267243500142591
34	1257787	378632	Sep. 3, 1996	Slowinski and Gage	41224577362142867472...31257188976089366527
35	1398269	420921	Nov. 12, 1996	Joel Armengaud/GIMPS	81471756441257307514...85532025868451315711
36	2976221	895832	Aug. 24, 1997	Gordon Spence/GIMPS	62334007624857864988...76506256743729201151
37	3021377	909526	Jan. 27, 1998	Roland Clarkson/GIMPS	12741168303009336743...25422631973024694271
38	6972593	2098960	Jun. 1, 1999	Nayan Hajratwala/GIMPS	43707574412708137883...35366526142924193791
39	13466917	4053946	Nov. 14, 2001	Michael Cameron/GIMPS	92494773800670132224...30073855470256259071
40	20996011	6320430	Nov. 17, 2003	Michael Shafer/GIMPS	12597689545033010502...94714065762855682047
41?	24036583	7235733	May 15, 2004	Josh Findley/GIMPS	29941042940415717208...67436921882733969407
42?	25964951	7816230	Feb. 18, 2005	Martin Nowak/GIMPS	12216463006127794810...98933257280577077247
43?	30402457	9152052	Dec. 15, 2005	Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS	31541647561884608093...11134297411652943871
44?	32582657	9808358	Sep. 4, 2006	Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS	12457502601536945540...11752880154053967871
45?	37156667	11185272	Sep. 6, 2008	Hans-Michael Elvenich/GIMPS	20225440689097733553...21340265022308220927
46?	43112609	12978189	Aug. 23, 2008	Edson Smith/GIMPS	31647026933025592314...80022181166697152511

İnsanoğlunda keşfetme merakı oldukça, bu tabloya yeni Mersenne sayılarının katılacağı aşikar...

Trigonometri Formülleri İçin Hafıza Çivisi

Dönüşüm ve Ters Dönüşüm formüllerini akılda tutmaya yarayan bir "hafıza çivisi"


Anlamak için biraz uğraşmak gerekli...

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-1

Geometrik çizimler matematik eğitiminin önemli ve zevkli bir bölümünü oluşturur, ayrıca geometrik araştırmalar içinde gerekli araçlardır.
Geometrik çizimlerde kullanılan araçları, cetvel ve pergel ile sınırlama geleneği çok eski zamanlara kadar gider.Öklid geometrisi (MÖ 3.yy) yalnız bu iki araca dayanmaktadır.Herhangi bir çizimin pergel veya cetvelden hangisi ile yapıldığı, sadece birinden yararlanılıp yararlanılmadığı çok da önemli değildir.Yalnız uzun zaman önce pergelin cetvelden daha mükemmel bir araç olduğu gösterilmiş ve bazı çizimlerin cetvel kullanılmadan, sadece pergel ile çizilebileceği anlaşılmıştı.Örneğin, çemberin çevresini 6 eşit parçaya bölmek, bir noktanın bir doğruya göre simetrisini almak gibi.
İtalya’da, Pavia Ünivesitesi’nden profesör Lorenzo Mascheroni daha 1797 yılında “Pergel Geometrisi” isimli daha sonra Almanca ve Fransızca’ya da çevrilen büyük eserini yayımladı.Bu kitapta çok önemli bir önermeyi ispat etmişti:
“Pergel ve cetvel ile çözülebilen tüm çizim problemleri yalnız pergel kullanılarak da çözülebilirler.”
Bu önermeyi, inversiyondan (tersine çevirme/yer değiştirme) yararlanarak 1890 yılında A.Adler ispat etmiştir.Adler, aynı zamanda, geometrik çizim problemlerinin yalnız pergel ile çözümü içinde genel bir yöntem de vermiştir.
1928 yılında, Danimarkalı matematikçi Hjelmslev, Kopenhag’da bir kitapçıda Danimarka’nın Öklid’i olarak bilinen G.Mohr’a ait 1672’de Amsterdam’da yayımlanmış bir kitap bulmuştur.Bu kitabın ilk bölümünde, ünlü Mascheroni probleminin tam bir çözümü vardır.
İşte geometride, yalnız pergel kullanılarak yapılan geometrik çizimlerin incelendiği alana “pergel geometrisi” denir.
1893 yılında İsviçreli geometrici Jacob Steiner “Bir doğru ve sabit bir daire ile yapılan geometrik çizimler” isimli kitabını yayımladı.Steiner’in bu kitabında, daha çok , yalnızca cetvel ile yapılan çizimler incelenmiştir.Bu eserin temel sonucu şöyle ifade edilebilir:
“Şekil düzleminde verilen sabit merkezli ve sabit yarıçaplı bir dairenin bulunması koşuluyla, pergel ve cetvel ile çözülebilen her çizim problemi yalnız cetvel ile çözülebilir.”
Buna göre, cetvel ile pergelin eş değerde iki araç olabilmesi için, pergelin bir kez kullanılması yeterlidir.
Daha sonra, 19. yy’ın ilk yarısında büyük Rus matematikçisi Lobachevsky, “Non-Öklidiyen geometri” veya “Lobachevsky geometrisi” adıyla ünlenen yeni bir geometri kurdu.Daha sonra bu geometri geliştirildi.
Smogorzhevsky, Rogachenko, Mokrishchev ve diğer matematikçiler, Lobachevsky düzleminde cetvel kullanmaksızın yapılabilen çizimler üzerinde araştırmalar yaparak, Öklid düzleminde de Mascheroni çizimlerine benzer çizimlerin yapılmasının mümkün olabileceğini göstermişlerdir.

Pergel Geometrisinin Dili (Kısaltmalar ve Anlamları)

Üzerinde 2 noktası belirli olan bir doğruyu pergel ile çizemeyeceğimiz bir gerçek olsa da, daha sonra gösterebileceğiz ki bunu elde etmek imkansız değildir.Ama Mohr-Mascheroni teorisiyle bir doğrunun çiziminde bütün noktalar elde edilemez.
Pergel geometrisinde, bir doğru veya bir doğru parçası iki noktayla belirtilir, cetvelle çizilmiş haliyle, sürekli bir doğru şeklinde verilmez.Doğrunun iki noktası çizimle elde edildiği zaman, doğru tamamen çizilmiş kabul edilir.
Çizimlerimizde, “Merkezi A noktası ve yarıçapı BC olan bir çember(daire) veya bir yay çizelim” cümlesini kısaca “(A,BC) yi çizelim” şeklinde göstereceğiz.Hatta (A,AB) yerine (A,B) yazmak yeterli olacak.[(A,B)==Merkezi A ve yarıçapı AB olan çember]

YARARLANILABİLECEK KAYNAKLAR

A.Adler– Geometrik Çizim Teoremi
I.Alexandrov-Geometrik Çizim Problemleri
Argunov&Blank-Düzlemde Geometrik Çizimler
Voronets-Daire Geometrisi
Zetel-Doğru ve Daire Geometrisi
Kostovsky-Geometrik Çizim Problemlerinin Ayaklarının Açıklığı Sınırlı Bir Pergel ile Çözülebilme İmkanı Üzerine
Kostovsky- Geometrik Çizim Problemlerinin Açıklığı Değişmeyen Bir Pergel ile Çözümü
Kutuzov-Geometri
Courant&Robbins-Matematik Nedir?
Mascheroni-Pergel Geometrisi
Astryab&Smogorzhevsky-Orta Dereceli Okullar için Geometrik Çizim Problemlerinin Çözümü
Teslenko-İnversiyon Yöntemi ve Uygulanması
Rademacher&Toplitz-Sayılar ve Şekiller

9.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1967)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)ABCD kenar uzunlukları IABI=a, IADI=1 ve m(BAD)=φ olan bir paralelkenar olsun.Eğer ABD üçgeni dar açılı ise ve yalnız ve yalnız

a ≤ cosφ + √3.sinφ

ise, merkezleri A,B,C,D ve yarıçapları 1 olan dört çemberin paralelkenarı örttüğünü ispatlayınız.

2)Bir dörtyüzlünün bir ve yalnız bir kenarı 1 den büyükse, hacminin en fazla 1/8 olacağını ispatlayınız.

3)k,m,n; m+k+1,n+1 den büyük bir asal sayı olacak şekilde doğal sayılar olsun.

c_s = s.(s+1)

olsun.

{c_(m+1) - c_k}{c_(m+2) - c_k}...{c_(m+n) - c_k}

çarpımının, c_1 . c_2 . ... . c_n çarpımıyla bölünebildiğini ispatlayınız.

4)A0B0C0 ve A1B1C1 dar açılı herhangi iki üçgen olsun.A1B1C1 e benzer olan ve A0B0C0 ın dışına çizilen bütün ABC üçgenleri içinde mümkün olan en büyük alanlı olanı belirtip, çiziniz.

5){c_n} dizisini gözönüne alınız.Burada;

c_1=a_1+...+a_8
c_2=(a_1)^2+...+(a_8)^2
.......................
c_n=(a_1)^n+...+(a_8)^n
.......................

ve a_1,...,a_8 ler sıfırdan farklı gerçel sayılardır.{c_n} dizisinin sonsuz sayıda teriminin sıfıra eşit olduğunu varsayarak, c_n=0 olan bütün doğal sayıları bulunuz.

6)Bir spor yarışmasında n ardışık (n>19 günde verilecek m madalya var.1.günde; 1 madalya ve kalan m-1 madalyanın 1/7 si, 2.günde; 2 madalya ve kalan madalyanın 1/7 si, vb...n-inci son günde ve toplamda verilen madalya sayısını bulunuz.