En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...
1)Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.
x + y + z = a x^2 + y^2 + z^2 = b^2 x.y = z^2
Burada a ve b sabitlerdir.x,y,z sistemin çözümlerinin pozitif ve farklı sayılar olması için a ve b nin sağlanması gereken koşulları veriniz.
2)a,b,c bir üçgenin kenarları ve T de bunun alanı olsun.
a^2 + b^2 + c^2 ≥ 4√3.T olduğunu ispatlayınız.Hangi halde eşitlik geçerlidir?
3)(cosx)^n -(sinx)^n =1 denklemini çözünüz.(n doğal sayıdır)
4)P1P2P3 üçgenini ve üçgenin bir P iç noktasını gözönüne alınız.P1P , P2P , P3P karşı kenarları sırasıyla Q1 , Q2 , Q3 de kesiyorlar.
P1P/PQ1 , P2P/PQ2 , P3P/PQ3
sayılarından en az birinin ≤ 2 ve en az birinin ≥ 2 olduğunu gösteriniz.
5)IACI=b , IABI=c ve m(AMB)=φ olan üçgeni çiziniz.Burada M; [BC] nin ortası ve φ<90> olduğu zaman b.tan(φ/2)≤c varlığını gösteriniz.Hangi halde eşitlik geçerlidir?
6)Bir E düzlemi ve aynı tarafında doğrusal olmayan A,B,C noktalarını gözönüne alınız, bu üç nokta tarafından belirlenen düzlemin E düzlemine paralel olmadığını varsayınız.E düzleminde; keyfi üç A' , B' , C' noktalarını alınız.L , M , N ; AA' , BB' , CC' nün orta noktaları ve G de LMN üçgeninin ağırlık merkezi olsun. (A', B', C' nün ; L, M, N nin üçgen oluşturmaması halini gözönüne almayacağız) A', B', C'; E düzlemi üzerinde bağımsız değişirken, G nin geometrik yeri ne olur? -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.soruya yorum olarak gönderilen cevap aşağıdadır: Gönderen:newzad
En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...
1)11 ile bölünebilen ve N/11 i N nin rakamlarının karelerinin toplamına eşit olan bütün üç basamaklı N sayılarını bulunuz.
2)(4x^2)/(1-√(1+2x))^2 < 2x+9 eşitsizliği x in hangi değerleri için sağlanır?
3)Verilen bir ABC dik üçgeninde uzunluğu a olan BC hipotenüsü n eşit parçaya bölünüyor.(n tek sayı)
α , A dan hipotenüs üzerinde ve hipotenüsün orta noktasını içeren doğru parçasını gören bir dar açı olsun.
tanα = 4nh/a(n^2-1)
olduğunu ispatlayınız.
4)B den geçen yüksekliği ile A dan geçen yüksekliği ve kenarortayı verilen ABC üçgenini çiziniz.
5)ABCDA'B'C'D' küpünü (A'B'C'D' yüzünü ABCD üzerinde düşünün) gözönüne alınız.
a)AC nin herhangi bir X noktası ve B'D' nün herhangi bir noktası Y olduğuna göre, XY doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini bulunuz.
b) a şıkkındaki koşulla XY doğru parçası üzerinde IZYI = 2.IXZI ile verilen Z noktalarının geometrik yerini bulunuz.
6)Bir küre ve dışına teğet çizilmiş bir dönel koni gözönüne alınız.Tabanı bu koninin tabanı içinde bulunan ve küreye teğet bir silindir çizilmiştir.Koninin hacmi V1, silindirin hacmi V2 olsun.
a)V1 ≠V2 olduğunu ispatlayınız.
b)V1=k.V2 için en küçük k sayısını bulunuz ve bu durumda koninin tepesinden koninin taban çapını gören açıyı çiziniz.
7)Tabanları a,c ve yüksekliği h olan bir ikizkenar yamuk veriliyor.
a)Bu yamuğun simetri ekseni üzerinde, eşit kenarları dik açı altında gören bütün P noktalarını bulunuz.
b)P nin tabanlardan birine uzaklığını hesaplayınız.
c)Gerçekte, böyle P noktalarının hangi koşullar altında varlığını belirtiniz.Ortaya çıkabilecek değişik durumları irdeleyiniz.
En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım... 1)(21n+4)/(14n+3) kesrinin bütün n doğal sayıları için kısaltılamadığını ispatlayınız.
2) A=√(x+(√2x-1)) + √(x-(√2x-1)) veriliyor.x'in hangi gerçel değerleri için;
a)A=√2 , b)A=1 , c)A=2
olur?
3)a,b,c gerçel sayıları veriliyor.cosx e göre ikinci dereceden;
a.(cosx)^2 + b.cosx + c = 0
denklemini göz önüne alınız.a,b,c sayılarını kullanarak kökleri ilk denklemle tamamen aynı olan cos2x e göre ikinci dereceden bir denklem oluşturunuz.cosx ve cos2x e göre olan denklemleri a=4, b=2 ve c=-1 için karşılaştırınız.
4) Hipotenüse ait kenarortayı, üçgenin iki kenarının geometrik ortası olan ve c hipotenüsü verilen bir dik üçgeni çiziniz.
5)AB doğru parçasına ait keyfi bir M noktası seçiliyor.AM ve MB doğru parçaları sırasıyla taban olarak AB nin aynı tarafında AMCD ve MBEF kareleri oluşturuluyor.Merkezleri P ve Q olan bu karelerin çevrel çemberleri M de ve diğer bir N noktasında kesişiyorlar.AF ve BC doğrularının kesişimi N' olsun.
a) N ve N' nün çakıştığını ispatlayınız.
b)MN doğrusunun, M nin seçiminden bağımsız bir sabit S noktasından geçtiğini ispatlayınız.
c)M, A ve B arasında değiştiğine göre PQ doğru parçasının orta noktalarının geometrik yerini bulunuz.
6)P ve Q, p doğrusu boyunca kesişen iki düzlemdir.A noktası, P düzleminde ve C noktası Q düzleminde verilmiştir.Bu noktalardan hiçbiri p doğrusu üzerinde değildir.İçine bir çember çizilebilen ve B ve D köşeleri sırasıyla P ve Q düzleminde bulunan ( AB//CD ) ABCD ikizkenar yamuğunu çiziniz.
The development of the arithmetic of rational numbers is here presupposed,
but still I think it worth while to call attention to certain important matters
without discussion, so as to show at the outset the standpoint assumed in what
follows. I regard the whole of arithmetic as a necessary, or at least natural,
consequence of the simplest arithmetic act, that of counting, and counting it-
self as nothing else than the successive creation of the infinite series of positive
integers in which each individual is defined by the one immediately preceding;
the simplest act is the passing from an already-formed individual to the con-
secutive new one to be formed. The chain of these numbers forms in itself an
exceedingly useful instrument for the human mind; it presents an inexhaustible
wealth of remarkable laws obtained by the introduction of the four fundamental
operations of arithmetic. Addition is the combination of any arbitrary repeti-
tions of the above-mentioned simplest act into a single act; from it in a similar
way arises multiplication. While the performance of these two operations is
always possible, that of the inverse operations, subtraction and division, proves
to be limited. Whatever the immediate occasion may have been, whatever com-
parisons or analogies with experience, or intuition, may have led thereto; it is
certainly true that just this limitation in performing the indirect operations has
in each case been the real motive for a new creative act; thus negative and
fractional numbers have been created by the human mind; and in the system of
all rational numbers there has been gained an instrument of infinitely greater
perfection. This system, which I shall denote by R, possesses first of all a com-
pleteness and self-containedness which I have designated in another place1 as
characteristic of a body of numbers [Zahlk¨ orper] and which consists in this that the four fundamental operations are always performable with any two individu-als in R, i. e., the result is always an individual of R, the single case of division by the number zero being excepted.
For our immediate purpose, however, another property of the system R is still more important; it may be expressed by saying that the system R forms a well-arranged domain of one dimension extending to infinity on two opposite sides. What is meant by this is su ciently indicated by my use of expressions borrowed from geometric ideas; but just for this reason it will be necessary to bring out clearly the corresponding purely arithmetic properties in order to avoid even the appearance as if arithmetic were in need of ideas foreign to it.
To express that the symbols a and b represent one and the same rational number
we put a = b as well as b = a. The fact that two rational numbers a, b are di erent appears in this that the di erence a - b has either a positive or negative value. In the former case a is said to be greater than b, b less than a; this is also indicated by the symbols a > b, b <> a, a <>
i. If a > b, and b > c, then a > c. Whenever a, c are two di erent (or unequal) numbers, and b is greater than the one and less than the other, we shall, without hesitation because of the suggestion of geometric ideas, express this brie y by saying: b lies between the two numbers a, c.
ii. If a, c are two di erent numbers, there are infinitely many di erent numbers lying between a, c.
iii. If a is any definite number, then all numbers of the system R fall into two classes, A_1 and A_2 , each of which contains infinitely many individuals; the firstclass A_1 comprises all numbers a1 that are <> all numbers a_2 that are > a; the number a itself may be assigned at pleasure to the first or second class, being respectively the greatest number of the first class or the least of the second. In every case the separation of the system R into the two classes A_1 , A_2 is such that every number of the first class A_1 is lessthan every number of the second class A_2 .
Filip Saidak isimli bir matematikçinin Öklid'in ispatı üzerine yaptığı modernizasyonu aşağıda görebilirsiniz.
A prime number is an integer greater than 1 that is divisible only by 1 and itself. Mathematicians have been studying primes and their properties for over twenty-three centuries. One of the very first results concerning these numbers was presumably proved by Euclid of Alexan-dria, sometime before 300 B.C. In Book IX of his legendary Elements (see [2]) we find Proposition 20, which states:
Proposition. There are infinitely many prime numbers.
Euclid’s proof (modernized). Assume to the contrary that the set P of all prime numbers is finite, say P = {p1, p2, · · · , pk} for a positiveinteger k. If Q := (p1 p2 · · · pk)+ 1, then gcd(Q, pi) = 1 for i = 1, 2, · · · k.Therefore Q has to have a prime factor di erent from all existing primes.
That is a contradiction.
Today many proofs of Euclid’s theorem are known. It may come as a surprise that the following almost trivial argument has not been given before:
New proof. Let n be an arbitrary positive integer greater than 1. Since n and n + 1 are consecutive integers, they must be coprime. Hence the number N2 = n(n + 1) must have at least two di erent prime factors.Similarly, since the integers n(n+1) and n(n+1)+1 are consecutive, and therefore coprime, the number N3 = n(n + 1)[n(n + 1) + 1] must have at least three di erent prime factors. This process can be continued indefinitely, so the number of primes must be infinite.
Analysis. The proof just given is conceptually even simpler than the original proof due to Euclid, since it does not use Eudoxus’s method of “reductio ad absurdum,” proof by contradiction. And unlike most other proofs of the theorem, it does not require Proposition 30 of Elements (sometimes called “Euclid’s Lemma”) that states: if p is a prime and p|ab, then either p|a or p|b. Moreover, our proof is constructive, and it gives integers with an arbitrary number of prime factors.
Remarks. In Ribenboim [4, pp.3–11] and Narkiewicz [3, pp.1–10] one finds at least a dozen di erent proofs of the classical theorem of Euclid, and many other variations of the arguments listed in [1], [3], and [4] have been published over the years (in chronological order) by: Goldbach (1730), Euler (1737 and 1762), Kummer (1878), Perott (1881), Stieltjes (1890), Thue (1897), Brocard (1915), P´ olya (1921), Erd¨ os (1938), Bell-man (1947), F¨ urstenberg (1955), Barnes (1976), Washington (1980), and others. Goldbach’s proof (see [4], p.4), which uses pairwise copri-mality of Fermat numbers, seems to be closest in spirit to the argument we have presented.
ACKNOWLEDGMENTS. Personal and virtual conversations with Professors Paulo Ribenboim (Queen’s University) and Eduard Kos-tolansky (Bratislava) are gratefully acknowledged. I would also like to thank Professor Wladyslaw Narkiewicz (Wroclaw) for bringing to my attention Hermite’s very simple proof concerning n! + 1.
References
[1] M. Aigner and G. M. & Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer-Verlag, Berlin,
1999
[2] T. L. Heath,The Thirteen Books of Euclid’s Elements, vol. 2, University Press, Cambridge, 1908; 2nd ed. reprinted by Dover, New York, 1956.
[3] W. Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory, Springer-Verlag, New
York, 2000
[4] P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer-Verlag, New York,
Matematik yeteneği genelde çok küçük yaşta ortaya çıkar.Ünlü Rus matematikçisi Kolmogorov, matematik yeteneğinin belirlenmesi ile normal psikolojik gelişimin durduğunu iddia etmiştir.Bu görüşe uyan veya zıt örnekler bulmak mümkündür.Matematiği özel kılan ve diğer bilim dallarından ayıran matematiksel nesnelere ilişkin olarak ortaya çıkan temel kavramlardır.Matematik ile uğraşmak çok sıkı kuralları olan dilbilgisi alıştırmaları yapmaya benzer.Genelde bir teorem ne kadar kısa ve basitse, ispatı bir o kadar uzun ve karmaşıktır.Matematiği ilginç kılan da bu uzun ve karmaşık kanıtlardır.Matematiğin anlamsız ve gereksiz olduğunu sanmayın kesinlikle.Matematiğin çok derinlere inen bir bütünselliği vardır.Matematik çok büyük bir krallıktır ve ancak onu görebilenler ona sahip olur.Matematik bir tür entellektüel yogadır.Beynin matematiksel bir düşünme biçiminin egemenliğine girmesi, matematikçiye diğer insanlardan apayrı bir konum kazandırmıştır.Peki ya fizikçiler? Matematikçiler ve fizikçiler düşman kardeş gibidirler ve aralarındaki farkları abartmaya eğilimlidirler.Diğer yandan Galileo'nun dediği gibi matematik fiziğin dilidir ve bir teorik fizikçi her zaman bir ölçüde de matematikçidir.Bu nedenle Arşimet ve Newton gibi bilim adamları buluşlarını iki alanda da gerçekleştirmişlerdir.Fizik, matematikle gerçekten çok yakından bağlantılı ve bir o kadar da matematikten farklı bir bilim dalıdır.Fizikçi herşeyi birden anlamaya çalışmaz, bunun yerine bir gerçek parçasını ele alarak, onu bir matematik teorisinin yardımıyla tanımlamaya çalışır.Bir matematik teorisi ile bir fiziksel gerçek parçasını bir araya getirdiğimiz zaman ortaya bir fizik teorisi çıkar.Matematik teorileri birbirleriyle mantıklı bir bağ ile bağlıyken fizik teorilerinin böyle olması gerekmez.
Kullanışlı bir matematik programı olan Maple programının 6. sürümü ile elde edebileceğimiz çeşitli uygulamalardan örnekler vermek istiyorum.Programın bildiğim kadarıyla 12. sürümü var ama benim bilgisayarım kaldırmadı o sürümü ve yıllardır da 6. sürümü kullanıyorum ve çok işime yarıyor.Basit örneklerle başlayalım.
1) Denklem Çözümü : Maple ile denklem çözmek oldukça basit.Örneğin;
Programa denklem girilirken çarpı işareti için "*" ve satır sonuna da ";" koymayı unutmuyoruz.
3*x^2+2*x-11=0;
Daha sonra ekranda, mavi renkle denklemimiz matematiksel olarak karşımıza çıkıyor.O mavi denkleme faremizle sağ tıklayıp açılan menüden "solve" diyoruz.
Program çıktısını aşağıda görebilirsiniz:
Reel kökleri olmayan 2*x^2+5*x+17=0 denklem içinse program çıktısı aşağıda:
Son olarak 3. dereceden x^3-2*x-1=0 denklemi için çözüm kümesini program şöyle buluyor:
2)Grafik Çizimi : Grafik çizimi de maple ile büyük bir kolaylık ve oldukça zevkli.Hemen örneklerimize bakalım.
Önce basit bir örnek, y=x+1 eğrisinin grafiğine bakalım.(Doğru grafiği çıkması bizi yanıltmayacak!!!)
y=x+1;
olarak girişi yapıp enter tuşuna basıyoruz.Yine ekranda mavi renkle
y=x+1
çıkıyor.(Bu renkleri program menüsünden istediğiniz renklerle değiştirebilirsiniz.)
Ve fare ile sağ tıklayıp;
Plots->2-D Imlplicit Plot->x,y
seçimlerini yaparak, xOy düzleminde grafiğimizi görüyoruz.Program çıktısı aşağıdaki gibidir:
Çıktı üzerine yine sağ tıkladığımızda;
açılan menüden de bir çok değişiklik yapabiliriz.Eksenleri değiştirebilirsiniz,eksenlerin uzunluğunu ayarlayabilirsiniz, çizim formatını-rengini değiştirebilirsiniz ve grafiği resim dosyası olarak kaydedebilirsiniz.
Şimdi de, ikinci dereceden y=4*x^2+3*x-1 fonksiyonunun grafiğine bakalım.Yukarıda işlemleri aynen yaparak şu çıktıyı elde ediyoruz:
y=x^3-1 için;
çıktısını alırız.Trigonometrik ve üstel fonksiyonlar ile 3-boyutlu grafikleri de çizmek oldukça kolay.İşte örnekler;
Tümevarım ile ispat matematikteki en eski araçlardan biridir.Ama bu ispat yöntemi sezgiseldir, yan, doğruluğundan emin olduğumuz önermeleri tümevarımla ispatlamayı tercih ederiz.Örneğin;
buluruz.n=1,2,3,4 için ilk n tane tek sayının toplamının n^2 olduğunu görürüz.Buradan hemen bir genellemeye mi varmalıyız? Hayır.Böyle bir genelleme yanlış olabilir.Örneğin;
biçimindeki sayıları ele alalım.n=0,1,2,3 ve 4 için elde edilen sayılar kesinlikle asaldır.Fermat, bu şekildeki tüm sayıların asal sayı olduğunu düşünüyordu, yani bir genelleme yapmıştı.Ama maalesef yanılıyordu.Euler n=5 için elde edilen sayının, yani
6416700417
nin çarpanlara ayrılabildiğini buldu.Demek ki, çok büyük matematikçiler bile bazen bu genellemenin büyüsüne kapılabiliyorlar.
Hemen başka bir örneğe bakalım.Ünlü Alman matematikçi Leibnitz -ki ileri matematiğin kuruluşunda büyük rolü vardır- her pozitif n tamsayısı için,
n^3 - n in 3 ile, n^5-n in 5 ile, n^7-n in 7 ile
bölünebildiğini ispat etti.Ve buna dayanarak, her k tek tamsayısı ve her n doğal sayısı için,
n^k - n
in k ile bölünebileceği genellemesini yaptı.Fakat, sonra gene kendisi,
2^9 - 2
sayısının, yani, 510 un 9 ile bölünemediğini gösterdi.
Bir Rus matematikçisi olan Grave'de bir keresinde bu genellemenin büyüsüne kapıldı.Her p asal sayısı için
2^(p-1) - 1
sayısının p^2 ile bölünemediğini tahmin ediyordu.Bunun 1000 den küçük bütün tamsayılar için doğru olduğunu kendisi deneyerek gördü.Fakat, ne yazık ki, 2^1092 -1 sayısı 1093^2 ile tam bölünebilir.Ne büyük hayal kırıklığı!
Son bir örnek, 9991.n^2 + 1 ifadesine bakalım.n=1,2,3,... sayıları için, bu iş için günler, haftalar harcasak da hiçbir zaman bir tamkare elde edemeyiz.Ama genelleme yaparsak, yine sonuç hayal kırıklığı!!! Bilgisayar yardımıyla,
n=12055735790331359447442538767
sayısı için bir tamkare elde edilir.
İşte, matematik söz konusu olunca, kendimizden emin olmamız, attığımız adımların sağlam olmasını sağlamamız gerekiyor.Sayıların ve formüllerin büyüsüne kapılmadan, uygun araçlarla ispata ulaşmamız gerekiyor.
19. yüzyılın Fransız matematikçilerinden Liouville, her sayma sayısını dört tamkare toplamı olarak ifade eden teoreme dayanarak, her sayma sayısının 53 tane dördüncü kuvvetin toplamı olarak gösterilebileceğini ispat etmiştir.Liouville'in çıkış noktası, aşağıdaki özdeşliktir:
Liouville bu özdeşliği şöyle kullanmıştır:
n herhangi bir sayma sayısı olsun.Bunu en çok 53 tane dördüncü kuvvetin toplamı olarak göstereceğiz.Öncelikle bu sayıdan,
28=6.4+4
toplamına göre, y; 0,1,2,3,4,5 kalanlarından biri olmak üzere,
n=6.x+y
olsun.Liouville, Fermat teoremini x'e uygulamak üzere birinci defa kullanıyor:Her sayma sayısı en çok dört karenin toplamı olarak gösterilebileceğinden,
elde edilir.Şimdi en baştaki özdeşliği bu eşitliğe uygularsak;
(a1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2) den 12 tane dördüncü kuvvetin toplamı çıkar.Benzer olarak, toplamda 4.12=48 tane toplam elde ettik.y nin de alabileceği kalan değerleri de 5 tane olduğundan toplma 48+5=53, yani en çok 53 dördüncü kuvvet toplamıyla amacımıza ulaşmış oluyoruz.
Sayma sayılarının karelerinden oluşan 1,4,9,16,25,36,... dizisine bir göz atalım.Bu dizinin ardışık terimleri arasındaki fark git gide artıyor.Yalnız bu aralıklarda, öyle doğal sayılar bulunur ki, bu sayılar en azından iki doğal sayının kareleri toplamı olarak gösterilebilir.Örneğin;
10=9+4 veya 29=25+4 gibi...
Bununla beraber, her sayıyı bu şekilde, iki doğal sayının kareleri toplamı olarak gösteremeyiz.Mesela 6 için, 6 dan küçük tam kareler olan olan 1 ve 4 ile ifade edilemez.Ama 6 sayısını da 6=1+1+4 şeklinde üç tamkare toplamı olarak ifade etmek mümkündür. 7 içinse çok daha farklı bir durum ortaya çıkar.Çünkü; 7=1+1+1+4 şeklinde ancak dört tamkare toplamı olarak ifade edebiliriz. 8 daha kolay...4+4 olarak gene iki tamkare toplamı olarak yazabiliyoruz.9 un kendisi zaten bir tam kare... 10=1+9...11=1+1+9...12=4+4+4 veya 12=1+1+1+9 ... bunu devam etmek mümkündür. Bu çok ilginç olmayan deneyimimizden sonra bazı doğal sayılar için, dört tamkarenin de yetmeyeceği, ve sayılar büyüdükçe daha fazla tamkareye ihtiyacımız olacağını düşünebiliriz.(En azından bu düşünce aklımızdan geçer.) Ama fazla düşünüp, beynimizi meşgul etmeye gerek yok arkadaşlar...Çünkü daha 17. yüzyılda, Descartes ile beraber asrının en büyük matematikçisi olan Fermat'ın, her doğal sayının en çok dört tamkare toplamı olarak yazılabileceğini ispat ettiğini hatırlatmayı bir borç bilirim...Yani tamkare için artık kafamızda bir soru işareti kalmamalı. Başka bir matematikçi,Waring ise,benzer problemi, küpler toplamı, dördüncü kuvvetler toplamı, vb.. için düşünmüştür.Problem Waring'in adıyla anılıyor.Bu yazımın konusu da tamamen bununla ilgili. Sayma sayılarının küplerinden oluşan 1,8,27,64,125,216,...dizisine bakalım önce.8 den küçük olan 7 doğal sayısını göstermek için en 7 küpe ihtiyacımız olacağı açıktır. 7=1+1+1+1+1+1+1+1
15 için; 15=8+1+1+1+1+1+1+1+1 olduğundan 8 küpe, 23 için; 23=8+8+1+1+1+1+1+1+1+1 olduğundan 9 küpe ihtiyacımız var... Araya küp olan 27 girer ve 31 e ulaştığımızda, 31=27+1+1+1+1 için sadece 5 küpe ihticamız var...Denemeye devam edelim mi? Burada biraz mola verelim... Ünlü matematikçi J.Jacobi, hesaplamada bir deha olarak tanınan Dahse'yi bu küp toplamlarıyla uğraşması için görevlendirmişti.Emektar Dahse, denemeleri ve hesapları sonucunda, 23 den sonra yalnızca, 239 un 9 tane küpe ihtiyacı olduğu ve 12000 sayısına kadar da başka böyle bir sayının bulunmadığını görmüştü.Tabii şimdi olsa, 5 satırlık bir program ile çok büyük sayılara kadar kolayca hesap yapmak mümkün.Her neyse, Dahse, 15,22,50,114,167,175,186,212,231,238,303,364,420,428,454 ün 8 küpe ihtiyacı olduğu ve 12000 e kadar başka bir sayının 8 küpe ihtiyaç duymadığı; 7,14,21,42,47,49,61,77,85,87,103,...,5306,5818,8042 sayılarının 7 küpe ihtiyaç duyduğunu ve terim sayısı yönünden daha zengin olan bu dizinin de gittikçe seyrekleştiğini ortaya çıkarmıştı.Bu denemelerin devamında elde ettiği dizilerde de bu seyrekleşmenin devam ettiğini gözlemlemişti. Ama bu tür denemeler ne kadar ileri götürülürse götürülsün, her doğal sayının en çok 9 küp toplamı olarak gösterilebileceğini, veya belli bir sayıdan sonra, bütün sayıların en çok 8 veya 7 küp toplamı olarak gösterilemeyeceğini ispat edilemez.Bu iddialardan birincisini, Wieferich isimli genç bir matematikçi, ikincisini ise Landau isimli bir matematikçi ispatlamıştı. Gelelim dördüncü kuvvetlere.1,16,81,256,... diye devam eder bu dizi.Burada 15 in açık olarak 15 tane, 31 in 16 tane, 47 nin 17 tane, 63 ün 18 tane, 79 un ise 19 tane dördüncü kuvvete ihtiyacı olduğunu görürüz.Sorun burada acaba 19 tane dördüncü kuvvet yeterli olacak mıdır?Sanırım hedefe yavaş yavaş yaklaşıyoruz.Önceleri Liouville (Diferensiyel denklemlerde Sturm-Liouville sistemlerinden hatırladığımız ikilinin ikincisi olan matematikçi) 53 tane dördüncü kuvvetin yeterli olacağını ispatlamış, sonraları bu sayı sırasıyla; 47,45,41,39,38 e indirilmiş ve Wieferich rekoru 37 ile kırmış, bununla beraber deneme ile bulduğumuz 19 sayısının hala oldukça uzağındayız. Hilbert, bu işe kökten bir çözüm bulmaya karar vermiş.Amacı bu rekorları kırmak değildi ve bu sayılara yaklaşmadı bile ama tek hamlede, yalnız 3. veya 4. kuvvetler değil, daha yüksek bütün kuvvetler için de her doğal sayıyı, o kadar tane kuvvetin toplamı olarak göstermeye yetecek bir sayının bulunduğunu gösterdi.(Burada doğal olarak, kuvvet yükseldikçe, ona karşılık gelen son sayının da gittikçe büyük seçilmesi gerekiyor.) İngiliz matematikçileri Hardy ve Littlewood ise aynı probleme farklı bir perspektiften bakmışlardır.Buldukları sonuçlardan biri, belli bir yerden sonra her sayının en çok 19 tane dördüncü kuvvet toplamı olarak yazılabileceğiydi.(Yalnız bu sayı o kadar büyük idi ki, Hardy ve Littlewood onu hesaplamaya ihtiyaç duymadılar.)
