En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...
1)ABCD kenar uzunlukları IABI=a, IADI=1 ve m(BAD)=φ olan bir paralelkenar olsun.Eğer ABD üçgeni dar açılı ise ve yalnız ve yalnız
a ≤ cosφ + √3.sinφ
ise, merkezleri A,B,C,D ve yarıçapları 1 olan dört çemberin paralelkenarı örttüğünü ispatlayınız.
2)Bir dörtyüzlünün bir ve yalnız bir kenarı 1 den büyükse, hacminin en fazla 1/8 olacağını ispatlayınız.
3)k,m,n; m+k+1,n+1 den büyük bir asal sayı olacak şekilde doğal sayılar olsun.
c_s = s.(s+1)
olsun.
{c_(m+1) - c_k}{c_(m+2) - c_k}...{c_(m+n) - c_k}
çarpımının, c_1 . c_2 . ... . c_n çarpımıyla bölünebildiğini ispatlayınız.
4)A0B0C0 ve A1B1C1 dar açılı herhangi iki üçgen olsun.A1B1C1 e benzer olan ve A0B0C0 ın dışına çizilen bütün ABC üçgenleri içinde mümkün olan en büyük alanlı olanı belirtip, çiziniz.
5){c_n} dizisini gözönüne alınız.Burada;
c_1=a_1+...+a_8
c_2=(a_1)^2+...+(a_8)^2
.......................
c_n=(a_1)^n+...+(a_8)^n
.......................
ve a_1,...,a_8 ler sıfırdan farklı gerçel sayılardır.{c_n} dizisinin sonsuz sayıda teriminin sıfıra eşit olduğunu varsayarak, c_n=0 olan bütün doğal sayıları bulunuz.
6)Bir spor yarışmasında n ardışık (n>19 günde verilecek m madalya var.1.günde; 1 madalya ve kalan m-1 madalyanın 1/7 si, 2.günde; 2 madalya ve kalan madalyanın 1/7 si, vb...n-inci son günde ve toplamda verilen madalya sayısını bulunuz.
uluslararası matematik olimpiyat soruları etiketine sahip kayıtlar gösteriliyor. Tüm kayıtları göster
uluslararası matematik olimpiyat soruları etiketine sahip kayıtlar gösteriliyor. Tüm kayıtları göster
24 Şubat 2009 Salı
23 Şubat 2009 Pazartesi
8.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1966)
En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...
1)Bir matematik yarışmasında A,B,C problemleri veriliyor.Adaylar arasında en az bir problemi çözen 25 öğrenci vardır.Bütün yarışmacılardan A problemini çözemeyenlerden B yi çözenlerin sayısı, C yi çözenlerin sayısının iki katıdır.Yalnızca A problemini çözenlerin sayısı A yı ve en az bir başka problemi çözenlerin sayısından bir fazladır.Bütün öğrencilerden bir problem çözenlerin yarısı A problemini çözemedi.kaç öğrenci yalnızca B problemini çözmüştür?
2)Bir üçgenin kenar uzunlukları a,b,c ve bu kenarlar karşısındaki açılar sırasıyla x,y,z olsun.Eğer;
a+b=tan(z/2) . (a.tanx + b.tany)
ise üçgenin ikizkenar olduğunu ispatlayınız.
3)Bir düzgün dörtyüzlünün dışına çizilen kürenin merkezinin köşelere olan uzaklıkları toplamının, uzayda herhangibir noktanın bu köşelere olan uzaklıkları toplamından daha küçük olduğunu ispatlayınız.
4)Her n doğal sayısı ve her x≠kπ/2^t , [(t00,1,...,n), k bir tamsayı] gerçel sayısı için;
1/sin2x + 1/sin4x + ... + 1/sin(2^n)x = cotx - cot(2^n)x
olduğunu ispatlayınız.
5)a1,a2,a3,a4 dört farklı gerçel sayı olmak üzere, aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.
Ia1-a2I.x2 + Ia1-a3I.x3 + Ia1-a4I.x4 = 1
Ia2-a1I.x1 + Ia2-a3I.x3 + Ia2-a4I.x4 = 1
Ia3-a1I.x1 + Ia3-a2I.x2 + Ia3-a4I.x4 = 1
Ia4-a1I.x1 + Ia4-a2I.x2 + Ia4-a3I.x3 = 1
6)ABC üçgeninin BC,CA,AB kenarları üzerinde sırasıyla herhangi K,L,M noktaları seçilmiştir.AML,BKM,CLK üçgenlerinin alanlarından en az birinin ABC üçgeninin alanının dörtte birine eşit veya küçük olduğunu ispatlayınız.
1)Bir matematik yarışmasında A,B,C problemleri veriliyor.Adaylar arasında en az bir problemi çözen 25 öğrenci vardır.Bütün yarışmacılardan A problemini çözemeyenlerden B yi çözenlerin sayısı, C yi çözenlerin sayısının iki katıdır.Yalnızca A problemini çözenlerin sayısı A yı ve en az bir başka problemi çözenlerin sayısından bir fazladır.Bütün öğrencilerden bir problem çözenlerin yarısı A problemini çözemedi.kaç öğrenci yalnızca B problemini çözmüştür?
2)Bir üçgenin kenar uzunlukları a,b,c ve bu kenarlar karşısındaki açılar sırasıyla x,y,z olsun.Eğer;
a+b=tan(z/2) . (a.tanx + b.tany)
ise üçgenin ikizkenar olduğunu ispatlayınız.
3)Bir düzgün dörtyüzlünün dışına çizilen kürenin merkezinin köşelere olan uzaklıkları toplamının, uzayda herhangibir noktanın bu köşelere olan uzaklıkları toplamından daha küçük olduğunu ispatlayınız.
4)Her n doğal sayısı ve her x≠kπ/2^t , [(t00,1,...,n), k bir tamsayı] gerçel sayısı için;
1/sin2x + 1/sin4x + ... + 1/sin(2^n)x = cotx - cot(2^n)x
olduğunu ispatlayınız.
5)a1,a2,a3,a4 dört farklı gerçel sayı olmak üzere, aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.
Ia1-a2I.x2 + Ia1-a3I.x3 + Ia1-a4I.x4 = 1
Ia2-a1I.x1 + Ia2-a3I.x3 + Ia2-a4I.x4 = 1
Ia3-a1I.x1 + Ia3-a2I.x2 + Ia3-a4I.x4 = 1
Ia4-a1I.x1 + Ia4-a2I.x2 + Ia4-a3I.x3 = 1
6)ABC üçgeninin BC,CA,AB kenarları üzerinde sırasıyla herhangi K,L,M noktaları seçilmiştir.AML,BKM,CLK üçgenlerinin alanlarından en az birinin ABC üçgeninin alanının dörtte birine eşit veya küçük olduğunu ispatlayınız.
22 Şubat 2009 Pazar
7.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1965)
En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...
1)2.cosx ≤ I √(1+sin2x) - √(1-sin2x) I ≤ √2
eşitsizliğini sağlayan 0≤x≤2π aralığındaki bütün x değerlerini bulunuz.
2)x1,x2,x3 bilinmeyenli,
a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0
denklem sistemini gözönüne alınız.Katsayılar aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır.
(a) a11,a22,a33 pozitif sayılardır.
(b) Geri kalan sayılar negatifdir.
(c) Her denklemde katsayılar toplamı pozitiftir.
Verilen sistemin yalnızca;
x1=x2=x3=0
çözümünün varlığını ispat ediniz.
3)AB ve CD ayrıtlarının uzunluğu sırasıyla a ve b olan ABCD dörtyüzlüsü veriliyor.AB ve CD aykırı doğrularının uzaklığı d ve aralarındaki açı φ dir.ABCD dörtyüzlüsü AB ve CD ye paralel E düzlemi ile iki cisme bölünüyor.E nin AB ve CD ye uzaklıkları oranı k ya eşittir.Buna göre elde edilen iki cismin hacimleri oranını bulunuz.
4)Herhangi biri ile diğer üçünün çarpımları toplamı 2 eden bütün dörtlü x1,x2,x3,x4 gerçel sayı kümelerini bulunuz.
5)AOB açısı dar olan OAB üçgenini gözönüne alınız.M≠O olan bir noktasından OA ve OB ye dikler çiziliyor.Dikme ayakları sırasıyla P ve Q dur.OPQ üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası H dır.M;
(a) AB kenarı üzerinde,
(b) OAB üçgeni içinde değişirken,
H ın geometrik yeri ne olur?
6)Bir düzlemde n (n≥3) nokta kümesi verilmiştir.Her nokta çifti, bir doğru parçası ile birleştirilmiştir.d bunların en uzunun uzunluğu olsun.Kümenin çapı olarak, d uzunluğundaki birleştiren herhangi bir doğru parçasını tanımlarız.Verilen kümenin çaplarının sayısının en çok n olduğunu ispatlayınız.
1)2.cosx ≤ I √(1+sin2x) - √(1-sin2x) I ≤ √2
eşitsizliğini sağlayan 0≤x≤2π aralığındaki bütün x değerlerini bulunuz.
2)x1,x2,x3 bilinmeyenli,
a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0
denklem sistemini gözönüne alınız.Katsayılar aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır.
(a) a11,a22,a33 pozitif sayılardır.
(b) Geri kalan sayılar negatifdir.
(c) Her denklemde katsayılar toplamı pozitiftir.
Verilen sistemin yalnızca;
x1=x2=x3=0
çözümünün varlığını ispat ediniz.
3)AB ve CD ayrıtlarının uzunluğu sırasıyla a ve b olan ABCD dörtyüzlüsü veriliyor.AB ve CD aykırı doğrularının uzaklığı d ve aralarındaki açı φ dir.ABCD dörtyüzlüsü AB ve CD ye paralel E düzlemi ile iki cisme bölünüyor.E nin AB ve CD ye uzaklıkları oranı k ya eşittir.Buna göre elde edilen iki cismin hacimleri oranını bulunuz.
4)Herhangi biri ile diğer üçünün çarpımları toplamı 2 eden bütün dörtlü x1,x2,x3,x4 gerçel sayı kümelerini bulunuz.
5)AOB açısı dar olan OAB üçgenini gözönüne alınız.M≠O olan bir noktasından OA ve OB ye dikler çiziliyor.Dikme ayakları sırasıyla P ve Q dur.OPQ üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası H dır.M;
(a) AB kenarı üzerinde,
(b) OAB üçgeni içinde değişirken,
H ın geometrik yeri ne olur?
6)Bir düzlemde n (n≥3) nokta kümesi verilmiştir.Her nokta çifti, bir doğru parçası ile birleştirilmiştir.d bunların en uzunun uzunluğu olsun.Kümenin çapı olarak, d uzunluğundaki birleştiren herhangi bir doğru parçasını tanımlarız.Verilen kümenin çaplarının sayısının en çok n olduğunu ispatlayınız.
6.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1964)
En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...
1) (a) 2^n - 1 in 7 ile bölünebilmesini sağlayan n pozitif tamsayılarını bulunuz.
(b) 2^n + 1 in 7 ile bölünmesini sağlayan bir n pozitif tamsayısı olmadığını gösteriniz.
2)a,b ve c nin bir üçgenin kenarları olduğunu varsayarak;
a²(b+c-a) + b²(c+a-b) + c²(a+b-c) ≤ 3abc
olduğunu ispatlayınız.
3)Bir çember, kenarları, a,b,c olan bir ABC üçgeninin içine teğet olarak çizilmiştir.Çembere, üçgenin kenarlarına paralel teğetleri çiziliyor.Bu teğetlerden herbiri, ABC üçgeninden bir üçgen ayırır.Bu üçgenlerin herbirinde, bir iç teğet çemberi çiziliyor.Bu dört iç teğet çemberinin alanları toplamını a,b ve c cinsinden bulunuz.
4)On yedi kişi birbiriyle, herbiri geri kalan herkesle, posta yoluyla yarışıyorlar.Mektuplarında, yalnızca üç farklı konu inceleniyor.Her bir karşılaşma çifti bu konulardan yalnız biri ile uğraşıyor.Birbirine aynı konuda yazan en az üç kişi olduğunu ispatlayınız.
5)Bir düzlemde beş noktanın herhangi ikisini birleştiren doğruların; paralel, dik veya çakışık olmayacak şekilde yerleştirildiğini farzediniz.Noktaların herbirinden diğer dört noktayı birleştiren ışınlar çiziliyor.Bu ışınların, kesişebilecekleri en çok kesim noktası sayısını bulunuz.
6)ABCD dörtyüzlüsünde, D tepesi, ABC üçgeninin G ağırlık merkezi ile birleştirilmiştir.A,B ve C den, DG ye paralel doğrular çiziliyor.Bu doğrular; BCD, CAD ve ABD düzlemlerini sırasıyla, A1,B1 ve C1 noktalarında kesiyorlar.ABCD hacminin, A1B1C1G hacminin üçte biri olduğunu ispatlayınız.G, ABC üçgeninin, herhangi bir noktası seçilseydi, sonuç yine aynı olurmuydu?
1) (a) 2^n - 1 in 7 ile bölünebilmesini sağlayan n pozitif tamsayılarını bulunuz.
(b) 2^n + 1 in 7 ile bölünmesini sağlayan bir n pozitif tamsayısı olmadığını gösteriniz.
2)a,b ve c nin bir üçgenin kenarları olduğunu varsayarak;
a²(b+c-a) + b²(c+a-b) + c²(a+b-c) ≤ 3abc
olduğunu ispatlayınız.
3)Bir çember, kenarları, a,b,c olan bir ABC üçgeninin içine teğet olarak çizilmiştir.Çembere, üçgenin kenarlarına paralel teğetleri çiziliyor.Bu teğetlerden herbiri, ABC üçgeninden bir üçgen ayırır.Bu üçgenlerin herbirinde, bir iç teğet çemberi çiziliyor.Bu dört iç teğet çemberinin alanları toplamını a,b ve c cinsinden bulunuz.
4)On yedi kişi birbiriyle, herbiri geri kalan herkesle, posta yoluyla yarışıyorlar.Mektuplarında, yalnızca üç farklı konu inceleniyor.Her bir karşılaşma çifti bu konulardan yalnız biri ile uğraşıyor.Birbirine aynı konuda yazan en az üç kişi olduğunu ispatlayınız.
5)Bir düzlemde beş noktanın herhangi ikisini birleştiren doğruların; paralel, dik veya çakışık olmayacak şekilde yerleştirildiğini farzediniz.Noktaların herbirinden diğer dört noktayı birleştiren ışınlar çiziliyor.Bu ışınların, kesişebilecekleri en çok kesim noktası sayısını bulunuz.
6)ABCD dörtyüzlüsünde, D tepesi, ABC üçgeninin G ağırlık merkezi ile birleştirilmiştir.A,B ve C den, DG ye paralel doğrular çiziliyor.Bu doğrular; BCD, CAD ve ABD düzlemlerini sırasıyla, A1,B1 ve C1 noktalarında kesiyorlar.ABCD hacminin, A1B1C1G hacminin üçte biri olduğunu ispatlayınız.G, ABC üçgeninin, herhangi bir noktası seçilseydi, sonuç yine aynı olurmuydu?
5.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1963)
En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...
1)√(x²-p) + 2.√(x²-1) = x
denkleminin bütün gerçel köklerini bulunuz.(Burada p bir gerçel parametredir.)
2)A noktası ve BC doğru parçası veriliyor.Bir kenarı A dan geçen ve diğer kenarı BC yi kesen, dik açıların köşelerinin uzaydaki geometrik yerini bulunuz.
3)İç açıları eşit olan bütün n-genlerin ardışık kenarları
a1≥a2≥...≥an
koşulunu sağlıyor.
a1=a2=...=an
olduğunu ispatlayınız.
4)y bir parametre olmak üzere;
(1) x5 + x2 = y.x1
(2) x1 + x3 = y.x2
(3) x2 + x4 = y.x3
(4) x3 + x5 = y.x4
(5) x4 + x1 = y.x5
sisteminin bütün x1,x2,x3,x4,x5 çözümlerini bulunuz.
5)cos(π/7) - cos(2.π/7) + cos(3.π/7) = ½ olduğunu ispatlayınız.
6)Beş öğrenci; A,B,C,D,E bir yarışmaya girerler.Bir tahmin, yarışmayı, yarışmacıların, ABCDE sırasında bitirecekleridir.Bu tahmin çok zayıftır.Gerçekte, hiçbir yarışmacı, yarışmayı tahmin edilen durumda bitiremedi ve ardışık bitirecekleri tahmin edilen hiçbir çift, yarışı ardışık bitiremedi.Bir ikinci tahmin yarışın DAECB biçiminde biteceğiydi.Bu tahmin biraz daha iyiydi.Tam iki öğrenci tahmin edilen yerlerde ve iki ayrık öğrenci çiftleri tahmin edildiği gibi yarışı ardışık bitirdiler.Yarışmanin bitiş sırasını bulunuz.
1)√(x²-p) + 2.√(x²-1) = x
denkleminin bütün gerçel köklerini bulunuz.(Burada p bir gerçel parametredir.)
2)A noktası ve BC doğru parçası veriliyor.Bir kenarı A dan geçen ve diğer kenarı BC yi kesen, dik açıların köşelerinin uzaydaki geometrik yerini bulunuz.
3)İç açıları eşit olan bütün n-genlerin ardışık kenarları
a1≥a2≥...≥an
koşulunu sağlıyor.
a1=a2=...=an
olduğunu ispatlayınız.
4)y bir parametre olmak üzere;
(1) x5 + x2 = y.x1
(2) x1 + x3 = y.x2
(3) x2 + x4 = y.x3
(4) x3 + x5 = y.x4
(5) x4 + x1 = y.x5
sisteminin bütün x1,x2,x3,x4,x5 çözümlerini bulunuz.
5)cos(π/7) - cos(2.π/7) + cos(3.π/7) = ½ olduğunu ispatlayınız.
6)Beş öğrenci; A,B,C,D,E bir yarışmaya girerler.Bir tahmin, yarışmayı, yarışmacıların, ABCDE sırasında bitirecekleridir.Bu tahmin çok zayıftır.Gerçekte, hiçbir yarışmacı, yarışmayı tahmin edilen durumda bitiremedi ve ardışık bitirecekleri tahmin edilen hiçbir çift, yarışı ardışık bitiremedi.Bir ikinci tahmin yarışın DAECB biçiminde biteceğiydi.Bu tahmin biraz daha iyiydi.Tam iki öğrenci tahmin edilen yerlerde ve iki ayrık öğrenci çiftleri tahmin edildiği gibi yarışı ardışık bitirdiler.Yarışmanin bitiş sırasını bulunuz.
4.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1962)
En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...
1)Aşağıdaki özellikleri sağlayan en küçük n doğal sayısını bulunuz:
a)Onluk gösteriminin son rakamı 6 olsun.
b)Eğer son rakamı olan 6 silinip, kalan rakamların başına konulursa, bulunan sayı n in 4 katı olsun.
2)√(3-x) - √(x+1) > 1/2 eşitsizliğini sağlayan bütün gerçel x sayılarını belirtiniz.
3)ABCDA'B'C'D' küpünü (ABCD ve A'B'C'D' sırasıyla üst ve alt tabanı, AA', BB', CC' ve DD' paralel ayrıtlardır.) gözönüne alınız.X noktası, ABCD karesinin çevresi boyunca, ABCDA yönünde sabit hızla hareket ediyor.X ve Y noktaları sırasıyla A ve B noktalarından aynı anda harekete başlıyorlar.XY doğru parçasının orta noktasının geometrik yerini belirtiniz ve çiziniz.
4)(cosx)^2 + (cos2x)^2 + (cos3x)^2 = 1 denklemini çözünüz.
5)K çemberi üzerinde verilen üç farklı nokta A,B ve C olsun.K üzerinde elde edilen dörtgen, teğetle dörtgeni olacak şekilde (yalnız pergel ve cetvel kullanarak) dördüncü bir D noktasını bulunuz.
6)Bir ikizkenar üçgen gözönüne alınız.Çevrel çemberinin yarıçapı r ve iç teğet çemberinin yarıçapı da p olsun.Bu iki çemberinin merkezleri arasındaki uzaklığın;
√{r.(r-2p)}
olduğunu ispatlayınız.
7)SABC dörtyüzlüsünün ağağıdaki özellikleri vardır.
Herbiri SA, SB, SC,BC, CA, AB ayrıtlarına veya onların uzantılarına teğey beş küre vardır.Buna göre;
a)SABC dörtyüzlüsünün düzgün olduğunu ispatlayınız.
b)Karşıt olarak, her düzgün dörtyüzlü için böyle beş kürenin varlığını ispatlayınız.
1)Aşağıdaki özellikleri sağlayan en küçük n doğal sayısını bulunuz:
a)Onluk gösteriminin son rakamı 6 olsun.
b)Eğer son rakamı olan 6 silinip, kalan rakamların başına konulursa, bulunan sayı n in 4 katı olsun.
2)√(3-x) - √(x+1) > 1/2 eşitsizliğini sağlayan bütün gerçel x sayılarını belirtiniz.
3)ABCDA'B'C'D' küpünü (ABCD ve A'B'C'D' sırasıyla üst ve alt tabanı, AA', BB', CC' ve DD' paralel ayrıtlardır.) gözönüne alınız.X noktası, ABCD karesinin çevresi boyunca, ABCDA yönünde sabit hızla hareket ediyor.X ve Y noktaları sırasıyla A ve B noktalarından aynı anda harekete başlıyorlar.XY doğru parçasının orta noktasının geometrik yerini belirtiniz ve çiziniz.
4)(cosx)^2 + (cos2x)^2 + (cos3x)^2 = 1 denklemini çözünüz.
5)K çemberi üzerinde verilen üç farklı nokta A,B ve C olsun.K üzerinde elde edilen dörtgen, teğetle dörtgeni olacak şekilde (yalnız pergel ve cetvel kullanarak) dördüncü bir D noktasını bulunuz.
6)Bir ikizkenar üçgen gözönüne alınız.Çevrel çemberinin yarıçapı r ve iç teğet çemberinin yarıçapı da p olsun.Bu iki çemberinin merkezleri arasındaki uzaklığın;
√{r.(r-2p)}
olduğunu ispatlayınız.
7)SABC dörtyüzlüsünün ağağıdaki özellikleri vardır.
Herbiri SA, SB, SC,BC, CA, AB ayrıtlarına veya onların uzantılarına teğey beş küre vardır.Buna göre;
a)SABC dörtyüzlüsünün düzgün olduğunu ispatlayınız.
b)Karşıt olarak, her düzgün dörtyüzlü için böyle beş kürenin varlığını ispatlayınız.
21 Şubat 2009 Cumartesi
3.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1961)
En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...
1)Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.
x + y + z = a
x^2 + y^2 + z^2 = b^2
x.y = z^2
Burada a ve b sabitlerdir.x,y,z sistemin çözümlerinin pozitif ve farklı sayılar olması için a ve b nin sağlanması gereken koşulları veriniz.
2)a,b,c bir üçgenin kenarları ve T de bunun alanı olsun.
a^2 + b^2 + c^2 ≥ 4√3.T olduğunu ispatlayınız.Hangi halde eşitlik geçerlidir?
3)(cosx)^n -(sinx)^n =1 denklemini çözünüz.(n doğal sayıdır)
4)P1P2P3 üçgenini ve üçgenin bir P iç noktasını gözönüne alınız.P1P , P2P , P3P karşı kenarları sırasıyla Q1 , Q2 , Q3 de kesiyorlar.
P1P/PQ1 , P2P/PQ2 , P3P/PQ3
sayılarından en az birinin ≤ 2 ve en az birinin ≥ 2 olduğunu gösteriniz.
5)IACI=b , IABI=c ve m(AMB)=φ olan üçgeni çiziniz.Burada M; [BC] nin ortası ve φ<90>
olduğu zaman
b.tan(φ/2)≤c
varlığını gösteriniz.Hangi halde eşitlik geçerlidir?
6)Bir E düzlemi ve aynı tarafında doğrusal olmayan A,B,C noktalarını gözönüne alınız, bu üç nokta tarafından belirlenen düzlemin E düzlemine paralel olmadığını varsayınız.E düzleminde; keyfi üç A' , B' , C' noktalarını alınız.L , M , N ; AA' , BB' , CC' nün orta noktaları ve G de LMN üçgeninin ağırlık merkezi olsun.
(A', B', C' nün ; L, M, N nin üçgen oluşturmaması halini gözönüne almayacağız)
A', B', C'; E düzlemi üzerinde bağımsız değişirken, G nin geometrik yeri ne olur?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.soruya yorum olarak gönderilen cevap aşağıdadır:
Gönderen:newzad
1)Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.
x + y + z = a
x^2 + y^2 + z^2 = b^2
x.y = z^2
Burada a ve b sabitlerdir.x,y,z sistemin çözümlerinin pozitif ve farklı sayılar olması için a ve b nin sağlanması gereken koşulları veriniz.
2)a,b,c bir üçgenin kenarları ve T de bunun alanı olsun.
a^2 + b^2 + c^2 ≥ 4√3.T olduğunu ispatlayınız.Hangi halde eşitlik geçerlidir?
3)(cosx)^n -(sinx)^n =1 denklemini çözünüz.(n doğal sayıdır)
4)P1P2P3 üçgenini ve üçgenin bir P iç noktasını gözönüne alınız.P1P , P2P , P3P karşı kenarları sırasıyla Q1 , Q2 , Q3 de kesiyorlar.
P1P/PQ1 , P2P/PQ2 , P3P/PQ3
sayılarından en az birinin ≤ 2 ve en az birinin ≥ 2 olduğunu gösteriniz.
5)IACI=b , IABI=c ve m(AMB)=φ olan üçgeni çiziniz.Burada M; [BC] nin ortası ve φ<90>
olduğu zaman
b.tan(φ/2)≤c
varlığını gösteriniz.Hangi halde eşitlik geçerlidir?
6)Bir E düzlemi ve aynı tarafında doğrusal olmayan A,B,C noktalarını gözönüne alınız, bu üç nokta tarafından belirlenen düzlemin E düzlemine paralel olmadığını varsayınız.E düzleminde; keyfi üç A' , B' , C' noktalarını alınız.L , M , N ; AA' , BB' , CC' nün orta noktaları ve G de LMN üçgeninin ağırlık merkezi olsun.
(A', B', C' nün ; L, M, N nin üçgen oluşturmaması halini gözönüne almayacağız)
A', B', C'; E düzlemi üzerinde bağımsız değişirken, G nin geometrik yeri ne olur?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.soruya yorum olarak gönderilen cevap aşağıdadır:
Gönderen:newzad
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)