Trigonometri Formülleri İçin Hafıza Çivisi

Dönüşüm ve Ters Dönüşüm formüllerini akılda tutmaya yarayan bir "hafıza çivisi"


Anlamak için biraz uğraşmak gerekli...

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-5

Bir çember yayını iki eşit parçaya ayıralım.

Herhangi bir çemberin (veya yayın) merkezinin yalnız pergel kullanarak bulunabileceğini ilerleyen problemlerde göreceğiz.Ama bizim çemberimizin merkezi olan O noktası berlirli olsun.
IOAI = IOBI = r ve IABI = a alalım.(O , a) , (A , r) ve (B , r) çemberlerini çizerek, çemberlerin kesim noktalarında C ve D yi elde ederiz.

(C , B) ve (D , A) çemberlerini, yukarıya doğru, E noktasında kesişinceye kadar çizelim.Sonra, (C , OE) ve (D , OE) çemberleri çizilirse o zaman, bu çemberlerin kesim noktalarında X ve X₁ i elde ederiz.İşte X noktası AB yayını iki eş parçaya ayırır.X₁ noktası da, ilk AB yayı ile bir tam çembere tamamlanan yayı iki eş parçaya ayırır.Bir (O , A) tam çemberinin çizilmesiyle de, (O , A) ile kesişerek X ve X₁ noktalarını belirleyen (C , OE) ve (D , OE) çemberlerinden yalnız bir tanesini çizmemiz gerekir. ♣

İspat : ABOC ve ABDO dörtgenleri birer paralelkenardır.Buna göre; C, O ve D noktaları aynı bir doğru üzerinde bulunurlar.( CO \\ AB ve OD \\ AB dir). CED ve CXD ikizkenar üçgenlerine bakarsak, COE ve COX açılarının dik açı oldukları görülür.Buna göre OX doğru parçası ile AB kirişi birbirine diktirler.Sonuç olarak, X noktasının AB yayını iki eş parçaya ayırdığını kanıtlamak için,

IOXI = r

olduğunu göstermek gerekir.ABOC paralelkenarından,

IOAI² + IBCI² = 2IOBI² + 2IABI²

ya da;

r² + IBCI² = 2r² + 2a²

dir.O halde,

IBCI² = 2a² + r²

olduğu görülür.COE dik üçgeninde;

ICEI² = IBCI² = IOCI² + IOEI²

dir.Demek ki,

2a² + r² = a² + IOEI²

ve

IOEI² = a² + r2

olur. Ve COX dik üçgeninden,

IOXI = √(ICXI² – IOCI²) = √(IOEI² – IOCI²) = √(a² + r² – a²) = r

elde edilir. ♣

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-4

(O , a) çemberi üzerinde IABI = c kirişini alır ve daha sonra, (O , b) çemberini A₁ ve B₁ noktalarında kesen ve yarıçapları rastgele bir d kadar olan (A , d) ve (B , d) çemberlerini çizelim.Verilen üç doğru parçası ile dördüncü orantılı olan ve istediğimiz doğru parçası A₁B₁ dir.

İspat : Karşılıklı bütün kenarları birbirine eşit olan AOA1 ve BOB1 üçgenleri eş üçgenlerdir.Buna göre, AOA1 açısı ile BOB1 açısı eşittirler.O halde, AOB açısı ile A1OB1 açıları da eşittir.Demek ki, AOB açısı ile A1OB1 açıları da birbirine eşit ve AOB ve A1OB1 üçgenleri benzer üçgenlerdir.O halde,

a : b = c : d

olduğu ispatlanmış olur.♣

c ≥ a durumu : Bu durumda, b < style="">* (veya b <>1 doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizme yöntemi ile)

n.a, b ve c doğru parçaları ile dördüncü orantılı olan bir y doğru parçasını çizeriz.Sonra, eğer bir x = n.y doğru parçasını çizersek (Uzunluğu r birim olan bir AA₁ doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizme yöntemi ile) o zaman, verilen üç a, b ve c doğru parçaları ile dördüncü orantılı olan bir doğru parçasını elde etmiş oluruz.

Gerçektende,

n.a : b = c : y

dir, ya da;

a : b = c : n.y

olur.♣

* 2.n.a > c olacak biçimde bir n.a uzunluğundaki doğru parçasını şu yöntemle bulabiliriz:

a₁ = 2.a doğru parçasını çizeriz. (Uzunluğu r birim olan bir AA₁ doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizme yöntemi ile) Düzlemde rastgele bir O₁ noktası alarak, (O₁ , c ) çemberini çizeriz ve istediğimiz bir doğrultu yönünde O₁A₁ = a₁, O₁A₂ = 2.a₁, ... doğru parçalarını işaretleriz.( Uzunluğu r birim olan bir AA₁ doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizme yöntemi ile). Aynı işlem sonlu sayıda tekrar edildikten sonra ( O₁ , c ) çemberinin dışında bulunacak olan A_n noktasına varırız.Burada O₁A_n = n.a₁ = 2.a.n > c olacağı açıktır.

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-3

Uzunluğu r birim olan bir AA1 doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizelim.

1.yol : Pergelin açıklığını r birim olarak alıp, (A1 , r) çemberini çizip, A nın A1 den geçen çapa karşılık gelen A2 noktasını çizimle buluruz. A2 yi elde etmek için IABI=IBCI=ICA2I=r birimlik kirişleri işaretleriz.IA A2I=2.r birim olacaktır.Sonra, (C , r) çemberini D noktasında kesen (A2 , r) çemberini çizeriz.(D , r) ve (A2 , r) çemberlerinin kesim noktasında A3 ü elde etmiş oluruz.A A3= 3.r birim olacaktır.Bu yöntemi n defa uygulayarak, A An = n.r uzunluğundaki doğru parçasını çizmiş oluruz. ♣





2.yol: AA1 in dışında herhangi bir B noktası alır ve C noktasında kesişen (A1 , AB) ve (B , r) çemberlerini çizelim.
(A1 , r) ve (C , BA1) çemberleri çizilirse, bu çemberler A2 noktasında kesişirler.
AA2 =2.r dir. (A2 , r) ve (C , BA2) çemberlerini çizerek A3 noktasını elde ederiz.AA3=3.r birimdir.Bu şekilde devam ederek istediğimiz n.r birim uzunluğundaki doğru parçasını çizmiş oluruz. ♣

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-2

Bir noktanın,bir doğruya göre simetriği olan noktayı çizerek bulalım.

Noktamızı C, doğrumuzu AB ile belirleyelim.
(A,C) ve (B,C) çemberlerini çizelim.Bu çemberlerin kesim noktası olan C1 aradığımız noktadır.♣

Sonuç:Bu problemden şu sonucu çıkarabiliriz. A, B ve X gibi üç farklı noktanın bir doğru üzerinde olduğunu söylemek için, doğrunun dışında herhangi bir C noktası almak ve C ye simetrik olan C₁ noktasını çizimle bulmak gerekir.Eğer CX ve C₁X doğru parçaları eşit iseler, X noktasının AB doğrusu üzerinde olacağı açıktır. ♣

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-1

Geometrik çizimler matematik eğitiminin önemli ve zevkli bir bölümünü oluşturur, ayrıca geometrik araştırmalar içinde gerekli araçlardır.
Geometrik çizimlerde kullanılan araçları, cetvel ve pergel ile sınırlama geleneği çok eski zamanlara kadar gider.Öklid geometrisi (MÖ 3.yy) yalnız bu iki araca dayanmaktadır.Herhangi bir çizimin pergel veya cetvelden hangisi ile yapıldığı, sadece birinden yararlanılıp yararlanılmadığı çok da önemli değildir.Yalnız uzun zaman önce pergelin cetvelden daha mükemmel bir araç olduğu gösterilmiş ve bazı çizimlerin cetvel kullanılmadan, sadece pergel ile çizilebileceği anlaşılmıştı.Örneğin, çemberin çevresini 6 eşit parçaya bölmek, bir noktanın bir doğruya göre simetrisini almak gibi.
İtalya’da, Pavia Ünivesitesi’nden profesör Lorenzo Mascheroni daha 1797 yılında “Pergel Geometrisi” isimli daha sonra Almanca ve Fransızca’ya da çevrilen büyük eserini yayımladı.Bu kitapta çok önemli bir önermeyi ispat etmişti:
“Pergel ve cetvel ile çözülebilen tüm çizim problemleri yalnız pergel kullanılarak da çözülebilirler.”
Bu önermeyi, inversiyondan (tersine çevirme/yer değiştirme) yararlanarak 1890 yılında A.Adler ispat etmiştir.Adler, aynı zamanda, geometrik çizim problemlerinin yalnız pergel ile çözümü içinde genel bir yöntem de vermiştir.
1928 yılında, Danimarkalı matematikçi Hjelmslev, Kopenhag’da bir kitapçıda Danimarka’nın Öklid’i olarak bilinen G.Mohr’a ait 1672’de Amsterdam’da yayımlanmış bir kitap bulmuştur.Bu kitabın ilk bölümünde, ünlü Mascheroni probleminin tam bir çözümü vardır.
İşte geometride, yalnız pergel kullanılarak yapılan geometrik çizimlerin incelendiği alana “pergel geometrisi” denir.
1893 yılında İsviçreli geometrici Jacob Steiner “Bir doğru ve sabit bir daire ile yapılan geometrik çizimler” isimli kitabını yayımladı.Steiner’in bu kitabında, daha çok , yalnızca cetvel ile yapılan çizimler incelenmiştir.Bu eserin temel sonucu şöyle ifade edilebilir:
“Şekil düzleminde verilen sabit merkezli ve sabit yarıçaplı bir dairenin bulunması koşuluyla, pergel ve cetvel ile çözülebilen her çizim problemi yalnız cetvel ile çözülebilir.”
Buna göre, cetvel ile pergelin eş değerde iki araç olabilmesi için, pergelin bir kez kullanılması yeterlidir.
Daha sonra, 19. yy’ın ilk yarısında büyük Rus matematikçisi Lobachevsky, “Non-Öklidiyen geometri” veya “Lobachevsky geometrisi” adıyla ünlenen yeni bir geometri kurdu.Daha sonra bu geometri geliştirildi.
Smogorzhevsky, Rogachenko, Mokrishchev ve diğer matematikçiler, Lobachevsky düzleminde cetvel kullanmaksızın yapılabilen çizimler üzerinde araştırmalar yaparak, Öklid düzleminde de Mascheroni çizimlerine benzer çizimlerin yapılmasının mümkün olabileceğini göstermişlerdir.

Pergel Geometrisinin Dili (Kısaltmalar ve Anlamları)

Üzerinde 2 noktası belirli olan bir doğruyu pergel ile çizemeyeceğimiz bir gerçek olsa da, daha sonra gösterebileceğiz ki bunu elde etmek imkansız değildir.Ama Mohr-Mascheroni teorisiyle bir doğrunun çiziminde bütün noktalar elde edilemez.
Pergel geometrisinde, bir doğru veya bir doğru parçası iki noktayla belirtilir, cetvelle çizilmiş haliyle, sürekli bir doğru şeklinde verilmez.Doğrunun iki noktası çizimle elde edildiği zaman, doğru tamamen çizilmiş kabul edilir.
Çizimlerimizde, “Merkezi A noktası ve yarıçapı BC olan bir çember(daire) veya bir yay çizelim” cümlesini kısaca “(A,BC) yi çizelim” şeklinde göstereceğiz.Hatta (A,AB) yerine (A,B) yazmak yeterli olacak.[(A,B)==Merkezi A ve yarıçapı AB olan çember]

YARARLANILABİLECEK KAYNAKLAR

A.Adler– Geometrik Çizim Teoremi
I.Alexandrov-Geometrik Çizim Problemleri
Argunov&Blank-Düzlemde Geometrik Çizimler
Voronets-Daire Geometrisi
Zetel-Doğru ve Daire Geometrisi
Kostovsky-Geometrik Çizim Problemlerinin Ayaklarının Açıklığı Sınırlı Bir Pergel ile Çözülebilme İmkanı Üzerine
Kostovsky- Geometrik Çizim Problemlerinin Açıklığı Değişmeyen Bir Pergel ile Çözümü
Kutuzov-Geometri
Courant&Robbins-Matematik Nedir?
Mascheroni-Pergel Geometrisi
Astryab&Smogorzhevsky-Orta Dereceli Okullar için Geometrik Çizim Problemlerinin Çözümü
Teslenko-İnversiyon Yöntemi ve Uygulanması
Rademacher&Toplitz-Sayılar ve Şekiller

İyi Sıralama Prensibi

Pozitif tamsayıların bazı sonuçlarının ispatında "iyi sıralama prensibi" (İSP) kullanılır.İfadesi şöyle: "Pozitif tamsayıların boştan farklı her altkümesinin bir "en küçük elemanı" vardır. Klasik bir ispatla örneklendirelim: "√63 irrasyoneldir." İspat: Kabul edelim ki √63 rasyonel olsun.Bu durumda; √63 = a/b olacak şekilde a ve b pozitif tamsayıları bulunur. Doğruluk Kümesi : S = {k√63 : k,k√63 pozitif tamsayı} olsun.S boş kümeden farklıdır.(a=√63.b seçilebilir)ve S nin tüm elemanları pozitif tamsayıdır ve İSP gereğince bir en küçük s=t√63 elemanı vardır. s√63-s = (s-t)√63 yazılabilir.s√63=63t ve s tamsayı olduğundan; (s-t)√63 de bir tamsayıdır.Öte yandan; s√63-s=s(√63-1) ve √63>1 olduğundan s√63-s de pozitiftir.Buradan; s√63 - s < s (s=t√63, s√63=63t ve √63

9.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1967)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)ABCD kenar uzunlukları IABI=a, IADI=1 ve m(BAD)=φ olan bir paralelkenar olsun.Eğer ABD üçgeni dar açılı ise ve yalnız ve yalnız

a ≤ cosφ + √3.sinφ

ise, merkezleri A,B,C,D ve yarıçapları 1 olan dört çemberin paralelkenarı örttüğünü ispatlayınız.

2)Bir dörtyüzlünün bir ve yalnız bir kenarı 1 den büyükse, hacminin en fazla 1/8 olacağını ispatlayınız.

3)k,m,n; m+k+1,n+1 den büyük bir asal sayı olacak şekilde doğal sayılar olsun.

c_s = s.(s+1)

olsun.

{c_(m+1) - c_k}{c_(m+2) - c_k}...{c_(m+n) - c_k}

çarpımının, c_1 . c_2 . ... . c_n çarpımıyla bölünebildiğini ispatlayınız.

4)A0B0C0 ve A1B1C1 dar açılı herhangi iki üçgen olsun.A1B1C1 e benzer olan ve A0B0C0 ın dışına çizilen bütün ABC üçgenleri içinde mümkün olan en büyük alanlı olanı belirtip, çiziniz.

5){c_n} dizisini gözönüne alınız.Burada;

c_1=a_1+...+a_8
c_2=(a_1)^2+...+(a_8)^2
.......................
c_n=(a_1)^n+...+(a_8)^n
.......................

ve a_1,...,a_8 ler sıfırdan farklı gerçel sayılardır.{c_n} dizisinin sonsuz sayıda teriminin sıfıra eşit olduğunu varsayarak, c_n=0 olan bütün doğal sayıları bulunuz.

6)Bir spor yarışmasında n ardışık (n>19 günde verilecek m madalya var.1.günde; 1 madalya ve kalan m-1 madalyanın 1/7 si, 2.günde; 2 madalya ve kalan madalyanın 1/7 si, vb...n-inci son günde ve toplamda verilen madalya sayısını bulunuz.

8.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1966)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)Bir matematik yarışmasında A,B,C problemleri veriliyor.Adaylar arasında en az bir problemi çözen 25 öğrenci vardır.Bütün yarışmacılardan A problemini çözemeyenlerden B yi çözenlerin sayısı, C yi çözenlerin sayısının iki katıdır.Yalnızca A problemini çözenlerin sayısı A yı ve en az bir başka problemi çözenlerin sayısından bir fazladır.Bütün öğrencilerden bir problem çözenlerin yarısı A problemini çözemedi.kaç öğrenci yalnızca B problemini çözmüştür?

2)Bir üçgenin kenar uzunlukları a,b,c ve bu kenarlar karşısındaki açılar sırasıyla x,y,z olsun.Eğer;

a+b=tan(z/2) . (a.tanx + b.tany)

ise üçgenin ikizkenar olduğunu ispatlayınız.

3)Bir düzgün dörtyüzlünün dışına çizilen kürenin merkezinin köşelere olan uzaklıkları toplamının, uzayda herhangibir noktanın bu köşelere olan uzaklıkları toplamından daha küçük olduğunu ispatlayınız.

4)Her n doğal sayısı ve her x≠kπ/2^t , [(t00,1,...,n), k bir tamsayı] gerçel sayısı için;

1/sin2x + 1/sin4x + ... + 1/sin(2^n)x = cotx - cot(2^n)x

olduğunu ispatlayınız.

5)a1,a2,a3,a4 dört farklı gerçel sayı olmak üzere, aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.

Ia1-a2I.x2 + Ia1-a3I.x3 + Ia1-a4I.x4 = 1
Ia2-a1I.x1 + Ia2-a3I.x3 + Ia2-a4I.x4 = 1
Ia3-a1I.x1 + Ia3-a2I.x2 + Ia3-a4I.x4 = 1
Ia4-a1I.x1 + Ia4-a2I.x2 + Ia4-a3I.x3 = 1

6)ABC üçgeninin BC,CA,AB kenarları üzerinde sırasıyla herhangi K,L,M noktaları seçilmiştir.AML,BKM,CLK üçgenlerinin alanlarından en az birinin ABC üçgeninin alanının dörtte birine eşit veya küçük olduğunu ispatlayınız.

7.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1965)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)2.cosx ≤ I √(1+sin2x) - √(1-sin2x) I ≤ √2

eşitsizliğini sağlayan 0≤x≤2π aralığındaki bütün x değerlerini bulunuz.

2)x1,x2,x3 bilinmeyenli,

a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0

denklem sistemini gözönüne alınız.Katsayılar aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır.

(a) a11,a22,a33 pozitif sayılardır.
(b) Geri kalan sayılar negatifdir.
(c) Her denklemde katsayılar toplamı pozitiftir.

Verilen sistemin yalnızca;

x1=x2=x3=0

çözümünün varlığını ispat ediniz.

3)AB ve CD ayrıtlarının uzunluğu sırasıyla a ve b olan ABCD dörtyüzlüsü veriliyor.AB ve CD aykırı doğrularının uzaklığı d ve aralarındaki açı φ dir.ABCD dörtyüzlüsü AB ve CD ye paralel E düzlemi ile iki cisme bölünüyor.E nin AB ve CD ye uzaklıkları oranı k ya eşittir.Buna göre elde edilen iki cismin hacimleri oranını bulunuz.

4)Herhangi biri ile diğer üçünün çarpımları toplamı 2 eden bütün dörtlü x1,x2,x3,x4 gerçel sayı kümelerini bulunuz.

5)AOB açısı dar olan OAB üçgenini gözönüne alınız.M≠O olan bir noktasından OA ve OB ye dikler çiziliyor.Dikme ayakları sırasıyla P ve Q dur.OPQ üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası H dır.M;

(a) AB kenarı üzerinde,
(b) OAB üçgeni içinde değişirken,

H ın geometrik yeri ne olur?

6)Bir düzlemde n (n≥3) nokta kümesi verilmiştir.Her nokta çifti, bir doğru parçası ile birleştirilmiştir.d bunların en uzunun uzunluğu olsun.Kümenin çapı olarak, d uzunluğundaki birleştiren herhangi bir doğru parçasını tanımlarız.Verilen kümenin çaplarının sayısının en çok n olduğunu ispatlayınız.

6.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1964)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1) (a) 2^n - 1 in 7 ile bölünebilmesini sağlayan n pozitif tamsayılarını bulunuz.

(b) 2^n + 1 in 7 ile bölünmesini sağlayan bir n pozitif tamsayısı olmadığını gösteriniz.

2)a,b ve c nin bir üçgenin kenarları olduğunu varsayarak;

a²(b+c-a) + b²(c+a-b) + c²(a+b-c) ≤ 3abc

olduğunu ispatlayınız.

3)Bir çember, kenarları, a,b,c olan bir ABC üçgeninin içine teğet olarak çizilmiştir.Çembere, üçgenin kenarlarına paralel teğetleri çiziliyor.Bu teğetlerden herbiri, ABC üçgeninden bir üçgen ayırır.Bu üçgenlerin herbirinde, bir iç teğet çemberi çiziliyor.Bu dört iç teğet çemberinin alanları toplamını a,b ve c cinsinden bulunuz.

4)On yedi kişi birbiriyle, herbiri geri kalan herkesle, posta yoluyla yarışıyorlar.Mektuplarında, yalnızca üç farklı konu inceleniyor.Her bir karşılaşma çifti bu konulardan yalnız biri ile uğraşıyor.Birbirine aynı konuda yazan en az üç kişi olduğunu ispatlayınız.

5)Bir düzlemde beş noktanın herhangi ikisini birleştiren doğruların; paralel, dik veya çakışık olmayacak şekilde yerleştirildiğini farzediniz.Noktaların herbirinden diğer dört noktayı birleştiren ışınlar çiziliyor.Bu ışınların, kesişebilecekleri en çok kesim noktası sayısını bulunuz.

6)ABCD dörtyüzlüsünde, D tepesi, ABC üçgeninin G ağırlık merkezi ile birleştirilmiştir.A,B ve C den, DG ye paralel doğrular çiziliyor.Bu doğrular; BCD, CAD ve ABD düzlemlerini sırasıyla, A1,B1 ve C1 noktalarında kesiyorlar.ABCD hacminin, A1B1C1G hacminin üçte biri olduğunu ispatlayınız.G, ABC üçgeninin, herhangi bir noktası seçilseydi, sonuç yine aynı olurmuydu?

5.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1963)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)√(x²-p) + 2.√(x²-1) = x
denkleminin bütün gerçel köklerini bulunuz.(Burada p bir gerçel parametredir.)

2)A noktası ve BC doğru parçası veriliyor.Bir kenarı A dan geçen ve diğer kenarı BC yi kesen, dik açıların köşelerinin uzaydaki geometrik yerini bulunuz.

3)İç açıları eşit olan bütün n-genlerin ardışık kenarları

a1≥a2≥...≥an

koşulunu sağlıyor.

a1=a2=...=an

olduğunu ispatlayınız.

4)y bir parametre olmak üzere;

(1) x5 + x2 = y.x1

(2) x1 + x3 = y.x2

(3) x2 + x4 = y.x3

(4) x3 + x5 = y.x4

(5) x4 + x1 = y.x5

sisteminin bütün x1,x2,x3,x4,x5 çözümlerini bulunuz.


5)cos(π/7) - cos(2.π/7) + cos(3.π/7) = ½ olduğunu ispatlayınız.

6)Beş öğrenci; A,B,C,D,E bir yarışmaya girerler.Bir tahmin, yarışmayı, yarışmacıların, ABCDE sırasında bitirecekleridir.Bu tahmin çok zayıftır.Gerçekte, hiçbir yarışmacı, yarışmayı tahmin edilen durumda bitiremedi ve ardışık bitirecekleri tahmin edilen hiçbir çift, yarışı ardışık bitiremedi.Bir ikinci tahmin yarışın DAECB biçiminde biteceğiydi.Bu tahmin biraz daha iyiydi.Tam iki öğrenci tahmin edilen yerlerde ve iki ayrık öğrenci çiftleri tahmin edildiği gibi yarışı ardışık bitirdiler.Yarışmanin bitiş sırasını bulunuz.

4.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1962)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)Aşağıdaki özellikleri sağlayan en küçük n doğal sayısını bulunuz:

a)Onluk gösteriminin son rakamı 6 olsun.
b)Eğer son rakamı olan 6 silinip, kalan rakamların başına konulursa, bulunan sayı n in 4 katı olsun.

2)√(3-x) - √(x+1) > 1/2 eşitsizliğini sağlayan bütün gerçel x sayılarını belirtiniz.

3)ABCDA'B'C'D' küpünü (ABCD ve A'B'C'D' sırasıyla üst ve alt tabanı, AA', BB', CC' ve DD' paralel ayrıtlardır.) gözönüne alınız.X noktası, ABCD karesinin çevresi boyunca, ABCDA yönünde sabit hızla hareket ediyor.X ve Y noktaları sırasıyla A ve B noktalarından aynı anda harekete başlıyorlar.XY doğru parçasının orta noktasının geometrik yerini belirtiniz ve çiziniz.

4)(cosx)^2 + (cos2x)^2 + (cos3x)^2 = 1 denklemini çözünüz.

5)K çemberi üzerinde verilen üç farklı nokta A,B ve C olsun.K üzerinde elde edilen dörtgen, teğetle dörtgeni olacak şekilde (yalnız pergel ve cetvel kullanarak) dördüncü bir D noktasını bulunuz.

6)Bir ikizkenar üçgen gözönüne alınız.Çevrel çemberinin yarıçapı r ve iç teğet çemberinin yarıçapı da p olsun.Bu iki çemberinin merkezleri arasındaki uzaklığın;

√{r.(r-2p)}

olduğunu ispatlayınız.

7)SABC dörtyüzlüsünün ağağıdaki özellikleri vardır.

Herbiri SA, SB, SC,BC, CA, AB ayrıtlarına veya onların uzantılarına teğey beş küre vardır.Buna göre;

a)SABC dörtyüzlüsünün düzgün olduğunu ispatlayınız.
b)Karşıt olarak, her düzgün dörtyüzlü için böyle beş kürenin varlığını ispatlayınız.