Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-5

Bir çember yayını iki eşit parçaya ayıralım.

Herhangi bir çemberin (veya yayın) merkezinin yalnız pergel kullanarak bulunabileceğini ilerleyen problemlerde göreceğiz.Ama bizim çemberimizin merkezi olan O noktası berlirli olsun.
IOAI = IOBI = r ve IABI = a alalım.(O , a) , (A , r) ve (B , r) çemberlerini çizerek, çemberlerin kesim noktalarında C ve D yi elde ederiz.

(C , B) ve (D , A) çemberlerini, yukarıya doğru, E noktasında kesişinceye kadar çizelim.Sonra, (C , OE) ve (D , OE) çemberleri çizilirse o zaman, bu çemberlerin kesim noktalarında X ve X₁ i elde ederiz.İşte X noktası AB yayını iki eş parçaya ayırır.X₁ noktası da, ilk AB yayı ile bir tam çembere tamamlanan yayı iki eş parçaya ayırır.Bir (O , A) tam çemberinin çizilmesiyle de, (O , A) ile kesişerek X ve X₁ noktalarını belirleyen (C , OE) ve (D , OE) çemberlerinden yalnız bir tanesini çizmemiz gerekir. ♣

İspat : ABOC ve ABDO dörtgenleri birer paralelkenardır.Buna göre; C, O ve D noktaları aynı bir doğru üzerinde bulunurlar.( CO \\ AB ve OD \\ AB dir). CED ve CXD ikizkenar üçgenlerine bakarsak, COE ve COX açılarının dik açı oldukları görülür.Buna göre OX doğru parçası ile AB kirişi birbirine diktirler.Sonuç olarak, X noktasının AB yayını iki eş parçaya ayırdığını kanıtlamak için,

IOXI = r

olduğunu göstermek gerekir.ABOC paralelkenarından,

IOAI² + IBCI² = 2IOBI² + 2IABI²

ya da;

r² + IBCI² = 2r² + 2a²

dir.O halde,

IBCI² = 2a² + r²

olduğu görülür.COE dik üçgeninde;

ICEI² = IBCI² = IOCI² + IOEI²

dir.Demek ki,

2a² + r² = a² + IOEI²

ve

IOEI² = a² + r2

olur. Ve COX dik üçgeninden,

IOXI = √(ICXI² – IOCI²) = √(IOEI² – IOCI²) = √(a² + r² – a²) = r

elde edilir. ♣