Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-7

Düzlemdeki A ve B noktalarından geçen doğrunun , O merkezli ve r yarıçaplı bir (O,r) çemberini kestiği noktaları bulalım...

Öncelikle problemi 2 şekilde düşünmeliyiz...

1)O merkez noktası AB doğrusu üzerinde olmasın:

O merkez noktasının AB doğrusuna göre simetriği olan O1 noktasını çizimle buluruz...Verilen çember ile aranan X ve Y noktalarında kesişen (O1,r) çemberini çizeriz...Bitti:)

2)O merkez noktası AB doğrusu üzerinde olsun:

A merkezli ve isteksel bir d yarıçaplı olan ve verilen çemberi C ve D noktalarında kesen bir çember çizeriz...(O,r) çemberinin CD yayını iki eşit parçaya böleriz...


Burada AX=AO+OX ve AY=AO-OX olduğunu görmekte de fayda var.;)

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-6

Düzlemdeki A ve B noktalarından yalnız bir doğrunun geçtiğini Öklid sayesinde biliyoruz:)
İyi, güzel de bu doğru ile ilgili ne yapalım...
Pergel yardımıyla, bu doğru üzerindeki diğer noktaları tespit edelim...Evet, sorumuz  açık:''Yalnız pergel kullanarak AB doğrusunun üzerindeki diğer noktaları bulalım...''

Düzlemde ve AB doğrusu dışında isteksel bir C noktası ele alalım.C noktasının AB doğrusuna göre simetriği olan C1 noktasını 2. problemde verilen yöntemle bulalım.Sonra yarıçapı yine keyfi bir r olan (C,r) ve (C1,r) çemberlerini çizelim...
Bu çemberlerin kesim noktalarında, AB doğrusu üzerinde bulunan ve aradığımız X ve X1 noktalarını elde ederiz...

r yarıçap uzunluğunu değiştirerek verilen doğruya ait istediğimiz kadar değişik noktayı elde etmemiz mümkün tabii ki...:)

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-5

Bir çember yayını iki eşit parçaya ayıralım.

Herhangi bir çemberin (veya yayın) merkezinin yalnız pergel kullanarak bulunabileceğini ilerleyen problemlerde göreceğiz.Ama bizim çemberimizin merkezi olan O noktası berlirli olsun.
IOAI = IOBI = r ve IABI = a alalım.(O , a) , (A , r) ve (B , r) çemberlerini çizerek, çemberlerin kesim noktalarında C ve D yi elde ederiz.

(C , B) ve (D , A) çemberlerini, yukarıya doğru, E noktasında kesişinceye kadar çizelim.Sonra, (C , OE) ve (D , OE) çemberleri çizilirse o zaman, bu çemberlerin kesim noktalarında X ve X₁ i elde ederiz.İşte X noktası AB yayını iki eş parçaya ayırır.X₁ noktası da, ilk AB yayı ile bir tam çembere tamamlanan yayı iki eş parçaya ayırır.Bir (O , A) tam çemberinin çizilmesiyle de, (O , A) ile kesişerek X ve X₁ noktalarını belirleyen (C , OE) ve (D , OE) çemberlerinden yalnız bir tanesini çizmemiz gerekir. ♣

İspat : ABOC ve ABDO dörtgenleri birer paralelkenardır.Buna göre; C, O ve D noktaları aynı bir doğru üzerinde bulunurlar.( CO \\ AB ve OD \\ AB dir). CED ve CXD ikizkenar üçgenlerine bakarsak, COE ve COX açılarının dik açı oldukları görülür.Buna göre OX doğru parçası ile AB kirişi birbirine diktirler.Sonuç olarak, X noktasının AB yayını iki eş parçaya ayırdığını kanıtlamak için,

IOXI = r

olduğunu göstermek gerekir.ABOC paralelkenarından,

IOAI² + IBCI² = 2IOBI² + 2IABI²

ya da;

r² + IBCI² = 2r² + 2a²

dir.O halde,

IBCI² = 2a² + r²

olduğu görülür.COE dik üçgeninde;

ICEI² = IBCI² = IOCI² + IOEI²

dir.Demek ki,

2a² + r² = a² + IOEI²

ve

IOEI² = a² + r2

olur. Ve COX dik üçgeninden,

IOXI = √(ICXI² – IOCI²) = √(IOEI² – IOCI²) = √(a² + r² – a²) = r

elde edilir. ♣

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-4

(O , a) çemberi üzerinde IABI = c kirişini alır ve daha sonra, (O , b) çemberini A₁ ve B₁ noktalarında kesen ve yarıçapları rastgele bir d kadar olan (A , d) ve (B , d) çemberlerini çizelim.Verilen üç doğru parçası ile dördüncü orantılı olan ve istediğimiz doğru parçası A₁B₁ dir.

İspat : Karşılıklı bütün kenarları birbirine eşit olan AOA1 ve BOB1 üçgenleri eş üçgenlerdir.Buna göre, AOA1 açısı ile BOB1 açısı eşittirler.O halde, AOB açısı ile A1OB1 açıları da eşittir.Demek ki, AOB açısı ile A1OB1 açıları da birbirine eşit ve AOB ve A1OB1 üçgenleri benzer üçgenlerdir.O halde,

a : b = c : d

olduğu ispatlanmış olur.♣

c ≥ a durumu : Bu durumda, b < style="">* (veya b <>1 doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizme yöntemi ile)

n.a, b ve c doğru parçaları ile dördüncü orantılı olan bir y doğru parçasını çizeriz.Sonra, eğer bir x = n.y doğru parçasını çizersek (Uzunluğu r birim olan bir AA₁ doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizme yöntemi ile) o zaman, verilen üç a, b ve c doğru parçaları ile dördüncü orantılı olan bir doğru parçasını elde etmiş oluruz.

Gerçektende,

n.a : b = c : y

dir, ya da;

a : b = c : n.y

olur.♣

* 2.n.a > c olacak biçimde bir n.a uzunluğundaki doğru parçasını şu yöntemle bulabiliriz:

a₁ = 2.a doğru parçasını çizeriz. (Uzunluğu r birim olan bir AA₁ doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizme yöntemi ile) Düzlemde rastgele bir O₁ noktası alarak, (O₁ , c ) çemberini çizeriz ve istediğimiz bir doğrultu yönünde O₁A₁ = a₁, O₁A₂ = 2.a₁, ... doğru parçalarını işaretleriz.( Uzunluğu r birim olan bir AA₁ doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizme yöntemi ile). Aynı işlem sonlu sayıda tekrar edildikten sonra ( O₁ , c ) çemberinin dışında bulunacak olan A_n noktasına varırız.Burada O₁A_n = n.a₁ = 2.a.n > c olacağı açıktır.

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-3

Uzunluğu r birim olan bir AA1 doğru parçasının 2,3,4 veya genel olarak n (n bir doğal sayı) kat daha uzun olan bir doğru parçasını çizelim.

1.yol : Pergelin açıklığını r birim olarak alıp, (A1 , r) çemberini çizip, A nın A1 den geçen çapa karşılık gelen A2 noktasını çizimle buluruz. A2 yi elde etmek için IABI=IBCI=ICA2I=r birimlik kirişleri işaretleriz.IA A2I=2.r birim olacaktır.Sonra, (C , r) çemberini D noktasında kesen (A2 , r) çemberini çizeriz.(D , r) ve (A2 , r) çemberlerinin kesim noktasında A3 ü elde etmiş oluruz.A A3= 3.r birim olacaktır.Bu yöntemi n defa uygulayarak, A An = n.r uzunluğundaki doğru parçasını çizmiş oluruz. ♣





2.yol: AA1 in dışında herhangi bir B noktası alır ve C noktasında kesişen (A1 , AB) ve (B , r) çemberlerini çizelim.
(A1 , r) ve (C , BA1) çemberleri çizilirse, bu çemberler A2 noktasında kesişirler.
AA2 =2.r dir. (A2 , r) ve (C , BA2) çemberlerini çizerek A3 noktasını elde ederiz.AA3=3.r birimdir.Bu şekilde devam ederek istediğimiz n.r birim uzunluğundaki doğru parçasını çizmiş oluruz. ♣

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-2

Bir noktanın,bir doğruya göre simetriği olan noktayı çizerek bulalım.

Noktamızı C, doğrumuzu AB ile belirleyelim.
(A,C) ve (B,C) çemberlerini çizelim.Bu çemberlerin kesim noktası olan C1 aradığımız noktadır.♣

Sonuç:Bu problemden şu sonucu çıkarabiliriz. A, B ve X gibi üç farklı noktanın bir doğru üzerinde olduğunu söylemek için, doğrunun dışında herhangi bir C noktası almak ve C ye simetrik olan C₁ noktasını çizimle bulmak gerekir.Eğer CX ve C₁X doğru parçaları eşit iseler, X noktasının AB doğrusu üzerinde olacağı açıktır. ♣

Yalnız Pergel Kullanarak Yapılabilen Çizimler-1

Geometrik çizimler matematik eğitiminin önemli ve zevkli bir bölümünü oluşturur, ayrıca geometrik araştırmalar içinde gerekli araçlardır.
Geometrik çizimlerde kullanılan araçları, cetvel ve pergel ile sınırlama geleneği çok eski zamanlara kadar gider.Öklid geometrisi (MÖ 3.yy) yalnız bu iki araca dayanmaktadır.Herhangi bir çizimin pergel veya cetvelden hangisi ile yapıldığı, sadece birinden yararlanılıp yararlanılmadığı çok da önemli değildir.Yalnız uzun zaman önce pergelin cetvelden daha mükemmel bir araç olduğu gösterilmiş ve bazı çizimlerin cetvel kullanılmadan, sadece pergel ile çizilebileceği anlaşılmıştı.Örneğin, çemberin çevresini 6 eşit parçaya bölmek, bir noktanın bir doğruya göre simetrisini almak gibi.
İtalya’da, Pavia Ünivesitesi’nden profesör Lorenzo Mascheroni daha 1797 yılında “Pergel Geometrisi” isimli daha sonra Almanca ve Fransızca’ya da çevrilen büyük eserini yayımladı.Bu kitapta çok önemli bir önermeyi ispat etmişti:
“Pergel ve cetvel ile çözülebilen tüm çizim problemleri yalnız pergel kullanılarak da çözülebilirler.”
Bu önermeyi, inversiyondan (tersine çevirme/yer değiştirme) yararlanarak 1890 yılında A.Adler ispat etmiştir.Adler, aynı zamanda, geometrik çizim problemlerinin yalnız pergel ile çözümü içinde genel bir yöntem de vermiştir.
1928 yılında, Danimarkalı matematikçi Hjelmslev, Kopenhag’da bir kitapçıda Danimarka’nın Öklid’i olarak bilinen G.Mohr’a ait 1672’de Amsterdam’da yayımlanmış bir kitap bulmuştur.Bu kitabın ilk bölümünde, ünlü Mascheroni probleminin tam bir çözümü vardır.
İşte geometride, yalnız pergel kullanılarak yapılan geometrik çizimlerin incelendiği alana “pergel geometrisi” denir.
1893 yılında İsviçreli geometrici Jacob Steiner “Bir doğru ve sabit bir daire ile yapılan geometrik çizimler” isimli kitabını yayımladı.Steiner’in bu kitabında, daha çok , yalnızca cetvel ile yapılan çizimler incelenmiştir.Bu eserin temel sonucu şöyle ifade edilebilir:
“Şekil düzleminde verilen sabit merkezli ve sabit yarıçaplı bir dairenin bulunması koşuluyla, pergel ve cetvel ile çözülebilen her çizim problemi yalnız cetvel ile çözülebilir.”
Buna göre, cetvel ile pergelin eş değerde iki araç olabilmesi için, pergelin bir kez kullanılması yeterlidir.
Daha sonra, 19. yy’ın ilk yarısında büyük Rus matematikçisi Lobachevsky, “Non-Öklidiyen geometri” veya “Lobachevsky geometrisi” adıyla ünlenen yeni bir geometri kurdu.Daha sonra bu geometri geliştirildi.
Smogorzhevsky, Rogachenko, Mokrishchev ve diğer matematikçiler, Lobachevsky düzleminde cetvel kullanmaksızın yapılabilen çizimler üzerinde araştırmalar yaparak, Öklid düzleminde de Mascheroni çizimlerine benzer çizimlerin yapılmasının mümkün olabileceğini göstermişlerdir.

Pergel Geometrisinin Dili (Kısaltmalar ve Anlamları)

Üzerinde 2 noktası belirli olan bir doğruyu pergel ile çizemeyeceğimiz bir gerçek olsa da, daha sonra gösterebileceğiz ki bunu elde etmek imkansız değildir.Ama Mohr-Mascheroni teorisiyle bir doğrunun çiziminde bütün noktalar elde edilemez.
Pergel geometrisinde, bir doğru veya bir doğru parçası iki noktayla belirtilir, cetvelle çizilmiş haliyle, sürekli bir doğru şeklinde verilmez.Doğrunun iki noktası çizimle elde edildiği zaman, doğru tamamen çizilmiş kabul edilir.
Çizimlerimizde, “Merkezi A noktası ve yarıçapı BC olan bir çember(daire) veya bir yay çizelim” cümlesini kısaca “(A,BC) yi çizelim” şeklinde göstereceğiz.Hatta (A,AB) yerine (A,B) yazmak yeterli olacak.[(A,B)==Merkezi A ve yarıçapı AB olan çember]

YARARLANILABİLECEK KAYNAKLAR

A.Adler– Geometrik Çizim Teoremi
I.Alexandrov-Geometrik Çizim Problemleri
Argunov&Blank-Düzlemde Geometrik Çizimler
Voronets-Daire Geometrisi
Zetel-Doğru ve Daire Geometrisi
Kostovsky-Geometrik Çizim Problemlerinin Ayaklarının Açıklığı Sınırlı Bir Pergel ile Çözülebilme İmkanı Üzerine
Kostovsky- Geometrik Çizim Problemlerinin Açıklığı Değişmeyen Bir Pergel ile Çözümü
Kutuzov-Geometri
Courant&Robbins-Matematik Nedir?
Mascheroni-Pergel Geometrisi
Astryab&Smogorzhevsky-Orta Dereceli Okullar için Geometrik Çizim Problemlerinin Çözümü
Teslenko-İnversiyon Yöntemi ve Uygulanması
Rademacher&Toplitz-Sayılar ve Şekiller