Liouville'nin Waring Problemine Katkısı

19. yüzyılın Fransız matematikçilerinden Liouville, her sayma sayısını dört tamkare toplamı olarak ifade eden teoreme dayanarak, her sayma sayısının 53 tane dördüncü kuvvetin toplamı olarak gösterilebileceğini ispat etmiştir.Liouville'in çıkış noktası, aşağıdaki özdeşliktir:




Liouville bu özdeşliği şöyle kullanmıştır:

n herhangi bir sayma sayısı olsun.Bunu en çok 53 tane dördüncü kuvvetin toplamı olarak göstereceğiz.Öncelikle bu sayıdan,

28=6.4+4

toplamına göre, y; 0,1,2,3,4,5 kalanlarından biri olmak üzere,

n=6.x+y

olsun.Liouville, Fermat teoremini x'e uygulamak üzere birinci defa kullanıyor:Her sayma sayısı en çok dört karenin toplamı olarak gösterilebileceğinden,

x=a^2 + b^2 + c^2 + d^2

şeklinde yazılabilir.O halde,

n=6x+y=6(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)+y
=6a^2 + 6b^2 + 6c^2 + 6d^2 + y

olur.Sonra, Liouville, eşitlikteki herbir, a,b,c,d sayısına tekrar Fermat teoremini kullanıyor.Buna göre;

a=a1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2
b=b1^2 + b2^2 + b3^2 + b4^2
c=c1^2 + c2^2 + c3^2 + c4^2
d=d1^2 + d2^2 + d3^2 + d4^2

ve sonunda;

n=6.(a1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2) + ... + 6.(d1^2 + d2^2 + d3^2 + d4^2)

elde edilir.Şimdi en baştaki özdeşliği bu eşitliğe uygularsak;

(a1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2) den 12 tane dördüncü kuvvetin toplamı çıkar.Benzer olarak, toplamda 4.12=48 tane toplam elde ettik.y nin de alabileceği kalan değerleri de 5 tane olduğundan toplma 48+5=53, yani en çok 53 dördüncü kuvvet toplamıyla amacımıza ulaşmış oluyoruz.

Waring Problemi/Waring's Problem

Sayma sayılarının karelerinden oluşan 1,4,9,16,25,36,... dizisine bir göz atalım.Bu dizinin ardışık terimleri arasındaki fark git gide artıyor.Yalnız bu aralıklarda, öyle doğal sayılar bulunur ki, bu sayılar en azından iki doğal sayının kareleri toplamı olarak gösterilebilir.Örneğin;

10=9+4 veya 29=25+4 gibi...

Bununla beraber, her sayıyı bu şekilde, iki doğal sayının kareleri toplamı olarak gösteremeyiz.Mesela 6 için, 6 dan küçük tam kareler olan olan 1 ve 4 ile ifade edilemez.Ama 6 sayısını da
6=1+1+4
şeklinde üç tamkare toplamı olarak ifade etmek mümkündür.
7 içinse çok daha farklı bir durum ortaya çıkar.Çünkü;
7=1+1+1+4
şeklinde ancak dört tamkare toplamı olarak ifade edebiliriz.
8 daha kolay...4+4 olarak gene iki tamkare toplamı olarak yazabiliyoruz.9 un kendisi zaten bir tam kare...
10=1+9...11=1+1+9...12=4+4+4 veya 12=1+1+1+9 ...
bunu devam etmek mümkündür.
Bu çok ilginç olmayan deneyimimizden sonra bazı doğal sayılar için, dört tamkarenin de yetmeyeceği, ve sayılar büyüdükçe daha fazla tamkareye ihtiyacımız olacağını düşünebiliriz.(En azından bu düşünce aklımızdan geçer.) Ama fazla düşünüp, beynimizi meşgul etmeye gerek yok arkadaşlar...Çünkü daha 17. yüzyılda, Descartes ile beraber asrının en büyük matematikçisi olan Fermat'ın, her doğal sayının en çok dört tamkare toplamı olarak yazılabileceğini ispat ettiğini hatırlatmayı bir borç bilirim...Yani tamkare için artık kafamızda bir soru işareti kalmamalı.
Başka bir matematikçi,Waring ise,benzer problemi, küpler toplamı, dördüncü kuvvetler toplamı, vb.. için düşünmüştür.Problem Waring'in adıyla anılıyor.Bu yazımın konusu da tamamen bununla ilgili.
Sayma sayılarının küplerinden oluşan 1,8,27,64,125,216,...dizisine bakalım önce.8 den küçük olan 7 doğal sayısını göstermek için en 7 küpe ihtiyacımız olacağı açıktır.
7=1+1+1+1+1+1+1+1

15 için; 15=8+1+1+1+1+1+1+1+1 olduğundan 8 küpe, 23 için; 23=8+8+1+1+1+1+1+1+1+1 olduğundan 9 küpe ihtiyacımız var...
Araya küp olan 27 girer ve 31 e ulaştığımızda, 31=27+1+1+1+1 için sadece 5 küpe ihticamız var...Denemeye devam edelim mi? Burada biraz mola verelim...
Ünlü matematikçi J.Jacobi, hesaplamada bir deha olarak tanınan Dahse'yi bu küp toplamlarıyla uğraşması için görevlendirmişti.Emektar Dahse, denemeleri ve hesapları sonucunda, 23 den sonra yalnızca, 239 un 9 tane küpe ihtiyacı olduğu ve 12000 sayısına kadar da başka böyle bir sayının bulunmadığını görmüştü.Tabii şimdi olsa, 5 satırlık bir program ile çok büyük sayılara kadar kolayca hesap yapmak mümkün.Her neyse, Dahse, 15,22,50,114,167,175,186,212,231,238,303,364,420,428,454 ün 8 küpe ihtiyacı olduğu ve 12000 e kadar başka bir sayının 8 küpe ihtiyaç duymadığı; 7,14,21,42,47,49,61,77,85,87,103,...,5306,5818,8042 sayılarının 7 küpe ihtiyaç duyduğunu ve terim sayısı yönünden daha zengin olan bu dizinin de gittikçe seyrekleştiğini ortaya çıkarmıştı.Bu denemelerin devamında elde ettiği dizilerde de bu seyrekleşmenin devam ettiğini gözlemlemişti.
Ama bu tür denemeler ne kadar ileri götürülürse götürülsün, her doğal sayının en çok 9 küp toplamı olarak gösterilebileceğini, veya belli bir sayıdan sonra, bütün sayıların en çok 8 veya 7 küp toplamı olarak gösterilemeyeceğini ispat edilemez.Bu iddialardan birincisini, Wieferich isimli genç bir matematikçi, ikincisini ise Landau isimli bir matematikçi ispatlamıştı.
Gelelim dördüncü kuvvetlere.1,16,81,256,... diye devam eder bu dizi.Burada 15 in açık olarak 15 tane, 31 in 16 tane, 47 nin 17 tane, 63 ün 18 tane, 79 un ise 19 tane dördüncü kuvvete ihtiyacı olduğunu görürüz.Sorun burada acaba 19 tane dördüncü kuvvet yeterli olacak mıdır?Sanırım hedefe yavaş yavaş yaklaşıyoruz.Önceleri Liouville (Diferensiyel denklemlerde Sturm-Liouville sistemlerinden hatırladığımız ikilinin ikincisi olan matematikçi) 53 tane dördüncü kuvvetin yeterli olacağını ispatlamış, sonraları bu sayı sırasıyla; 47,45,41,39,38 e indirilmiş ve Wieferich rekoru 37 ile kırmış, bununla beraber deneme ile bulduğumuz 19 sayısının hala oldukça uzağındayız.
Hilbert, bu işe kökten bir çözüm bulmaya karar vermiş.Amacı bu rekorları kırmak değildi ve bu sayılara yaklaşmadı bile ama tek hamlede, yalnız 3. veya 4. kuvvetler değil, daha yüksek bütün kuvvetler için de her doğal sayıyı, o kadar tane kuvvetin toplamı olarak göstermeye yetecek bir sayının bulunduğunu gösterdi.(Burada doğal olarak, kuvvet yükseldikçe, ona karşılık gelen son sayının da gittikçe büyük seçilmesi gerekiyor.)
İngiliz matematikçileri Hardy ve Littlewood ise aynı probleme farklı bir perspektiften bakmışlardır.Buldukları sonuçlardan biri, belli bir yerden sonra her sayının en çok 19 tane dördüncü kuvvet toplamı olarak yazılabileceğiydi.(Yalnız bu sayı o kadar büyük idi ki, Hardy ve Littlewood onu hesaplamaya ihtiyaç duymadılar.)