Matematiksel Genellemede Yapılabilecek Hatalar Üzerine Bir Deneme

Tümevarım ile ispat matematikteki en eski araçlardan biridir.Ama bu ispat yöntemi sezgiseldir, yan, doğruluğundan emin olduğumuz önermeleri tümevarımla ispatlamayı tercih ederiz.Örneğin;

1+3+5+7+...+(2n-1)

ilk n tek sayının toplamını S(n) ile gösterelim.

S(1)=1
S(2)=1+3=4
S(3)=1+3+5=9
S(4)=1+3+5+7=16
S(5)=1+3+5+7+9=25

buluruz.n=1,2,3,4 için ilk n tane tek sayının toplamının n^2 olduğunu görürüz.Buradan hemen bir genellemeye mi varmalıyız? Hayır.Böyle bir genelleme yanlış olabilir.Örneğin;



biçimindeki sayıları ele alalım.n=0,1,2,3 ve 4 için elde edilen sayılar kesinlikle asaldır.Fermat, bu şekildeki tüm sayıların asal sayı olduğunu düşünüyordu, yani bir genelleme yapmıştı.Ama maalesef yanılıyordu.Euler n=5 için elde edilen sayının, yani

6416700417

nin çarpanlara ayrılabildiğini buldu.Demek ki, çok büyük matematikçiler bile bazen bu genellemenin büyüsüne kapılabiliyorlar.

Hemen başka bir örneğe bakalım.Ünlü Alman matematikçi Leibnitz -ki ileri matematiğin kuruluşunda büyük rolü vardır- her pozitif n tamsayısı için,

n^3 - n in 3 ile,
n^5-n in 5 ile,
n^7-n in 7 ile

bölünebildiğini ispat etti.Ve buna dayanarak, her k tek tamsayısı ve her n doğal sayısı için,

n^k - n

in k ile bölünebileceği genellemesini yaptı.Fakat, sonra gene kendisi,

2^9 - 2

sayısının, yani, 510 un 9 ile bölünemediğini gösterdi.

Bir Rus matematikçisi olan Grave'de bir keresinde bu genellemenin büyüsüne kapıldı.Her p asal sayısı için

2^(p-1) - 1

sayısının p^2 ile bölünemediğini tahmin ediyordu.Bunun 1000 den küçük bütün tamsayılar için doğru olduğunu kendisi deneyerek gördü.Fakat, ne yazık ki, 2^1092 -1 sayısı 1093^2 ile tam bölünebilir.Ne büyük hayal kırıklığı!

Son bir örnek, 9991.n^2 + 1 ifadesine bakalım.n=1,2,3,... sayıları için, bu iş için günler, haftalar harcasak da hiçbir zaman bir tamkare elde edemeyiz.Ama genelleme yaparsak, yine sonuç hayal kırıklığı!!! Bilgisayar yardımıyla,

n=12055735790331359447442538767

sayısı için bir tamkare elde edilir.

İşte, matematik söz konusu olunca, kendimizden emin olmamız, attığımız adımların sağlam olmasını sağlamamız gerekiyor.Sayıların ve formüllerin büyüsüne kapılmadan, uygun araçlarla ispata ulaşmamız gerekiyor.