7.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1965)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)2.cosx ≤ I √(1+sin2x) - √(1-sin2x) I ≤ √2

eşitsizliğini sağlayan 0≤x≤2π aralığındaki bütün x değerlerini bulunuz.

2)x1,x2,x3 bilinmeyenli,

a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0

denklem sistemini gözönüne alınız.Katsayılar aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır.

(a) a11,a22,a33 pozitif sayılardır.
(b) Geri kalan sayılar negatifdir.
(c) Her denklemde katsayılar toplamı pozitiftir.

Verilen sistemin yalnızca;

x1=x2=x3=0

çözümünün varlığını ispat ediniz.

3)AB ve CD ayrıtlarının uzunluğu sırasıyla a ve b olan ABCD dörtyüzlüsü veriliyor.AB ve CD aykırı doğrularının uzaklığı d ve aralarındaki açı φ dir.ABCD dörtyüzlüsü AB ve CD ye paralel E düzlemi ile iki cisme bölünüyor.E nin AB ve CD ye uzaklıkları oranı k ya eşittir.Buna göre elde edilen iki cismin hacimleri oranını bulunuz.

4)Herhangi biri ile diğer üçünün çarpımları toplamı 2 eden bütün dörtlü x1,x2,x3,x4 gerçel sayı kümelerini bulunuz.

5)AOB açısı dar olan OAB üçgenini gözönüne alınız.M≠O olan bir noktasından OA ve OB ye dikler çiziliyor.Dikme ayakları sırasıyla P ve Q dur.OPQ üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası H dır.M;

(a) AB kenarı üzerinde,
(b) OAB üçgeni içinde değişirken,

H ın geometrik yeri ne olur?

6)Bir düzlemde n (n≥3) nokta kümesi verilmiştir.Her nokta çifti, bir doğru parçası ile birleştirilmiştir.d bunların en uzunun uzunluğu olsun.Kümenin çapı olarak, d uzunluğundaki birleştiren herhangi bir doğru parçasını tanımlarız.Verilen kümenin çaplarının sayısının en çok n olduğunu ispatlayınız.