5.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1963)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)√(x²-p) + 2.√(x²-1) = x
denkleminin bütün gerçel köklerini bulunuz.(Burada p bir gerçel parametredir.)

2)A noktası ve BC doğru parçası veriliyor.Bir kenarı A dan geçen ve diğer kenarı BC yi kesen, dik açıların köşelerinin uzaydaki geometrik yerini bulunuz.

3)İç açıları eşit olan bütün n-genlerin ardışık kenarları

a1≥a2≥...≥an

koşulunu sağlıyor.

a1=a2=...=an

olduğunu ispatlayınız.

4)y bir parametre olmak üzere;

(1) x5 + x2 = y.x1

(2) x1 + x3 = y.x2

(3) x2 + x4 = y.x3

(4) x3 + x5 = y.x4

(5) x4 + x1 = y.x5

sisteminin bütün x1,x2,x3,x4,x5 çözümlerini bulunuz.


5)cos(π/7) - cos(2.π/7) + cos(3.π/7) = ½ olduğunu ispatlayınız.

6)Beş öğrenci; A,B,C,D,E bir yarışmaya girerler.Bir tahmin, yarışmayı, yarışmacıların, ABCDE sırasında bitirecekleridir.Bu tahmin çok zayıftır.Gerçekte, hiçbir yarışmacı, yarışmayı tahmin edilen durumda bitiremedi ve ardışık bitirecekleri tahmin edilen hiçbir çift, yarışı ardışık bitiremedi.Bir ikinci tahmin yarışın DAECB biçiminde biteceğiydi.Bu tahmin biraz daha iyiydi.Tam iki öğrenci tahmin edilen yerlerde ve iki ayrık öğrenci çiftleri tahmin edildiği gibi yarışı ardışık bitirdiler.Yarışmanin bitiş sırasını bulunuz.