matematiğin hayatımızda ne işe yarayacağının ölçüsü tamamen bizim kapasitemizle orantılıdır...

4 Mart 2009 Çarşamba

Mersenne Asalları Üzerine Bir Karalama


Matematikle biraz içli-dışlı olanlarımız Mersenne adını mutlaka duymuşlardır.Tam adı Marin Marsenne olan bu Fransız matematikçi, genelde ünlü matematikçilerin babalarının yaptığı gibi, kilisede din adamı olmasını isteyen babasını dinlemeyip, Paris'e gider ve 60 yıllık hayatına (1588-1648) anlam kazandıracak şeylerle uğraşır.
Marsenne adı, kendi ismiyle anılan "Mersenne Asalları" ile anılır.Mersenne; p bir asal sayı iken, M=2^p - 1 şeklindeki tüm sayılarında asal olduğunu düşünmüştü...Gerçektende;

p=2=>M=3

p=3=>M=7

p=5=>M=31

p=7=>M=127

bir-iki deneme ile asal sayılar elde ediliyor...Fakat, bunu ispatlamak gerekiyordu...Acaba, her p asal sayısı için M bir asal sayımıydı?Matematiksel genellemeler üzerine yapılacak hatalardan bahsetmiştim.Denemelere devam edelim:

p=11=>M=2047=23.89...Hayal kırıklığı!!!

11 Mersenne için bir hayal kırıklığı yaratmadı, tabii...Çünkü, önermenin çift taraflı olmasa da yeter şartı doğruydu...Yani, M asal iken, p kesinlikle asaldı...Sayılarla biraz daha oynayalım...

p=13=>M=8191 de asaldır...

p=31=>M=2147483647 de asaldır...

p=101=>M=2535301200456458802993406410751=7432339208719.341117531003194129 asal değildir...Bu hesaplamaları Maple ile yaptım.

n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, için elde edilebilecek Mersenne asalları;

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647 dır.Grafiksel olarak Mersenne asallarının dağılımı aşağıdakine benzer:

MersennePrimeDensity


Matematikseverler hala Mersenne sayılarını elde etmek için uğraşıyorlar.Bunun için bilgisayarların yardımını alıyorlar doğal olarak...Acaba bilgisayarlar olmasa ne yapardık?Aşağıdaki tabloda bilinen ve bulanabilen Mersenne asallarını görebilirsiniz:

#pdigitsyeardiscoverer (reference)value
121antiquity
3
231antiquity
7
352antiquity
31
473antiquity
127
51341461Reguis (1536), Cataldi (1603)8191
61761588Cataldi (1603)131071
71961588Cataldi (1603)524287
831101750Euler (1772)2147483647
961191883Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)2305843009213693951
1089271911Powers (1911)618970019642690137449562111
11107331913Powers (1914)162259276829213363391578010288127
12127391876Lucas (1876)170141183460469231731687303715884105727
13521157Jan. 30, 1952Robinson (1954)68647976601306097149...12574028291115057151
14607183Jan. 30, 1952Robinson (1954)53113799281676709868...70835393219031728127
151279386Jun. 25, 1952Robinson (1954)10407932194664399081...20710555703168729087
162203664Oct. 7, 1952Robinson (1954)14759799152141802350...50419497686697771007
172281687Oct. 9, 1952Robinson (1954)44608755718375842957...64133172418132836351
183217969Sep. 8, 1957Riesel25911708601320262777...46160677362909315071
1942531281Nov. 3, 1961Hurwitz19079700752443907380...76034687815350484991
2044231332Nov. 3, 1961Hurwitz28554254222827961390...10231057902608580607
2196892917May 11, 1963Gillies (1964)47822027880546120295...18992696826225754111
2299412993May 16, 1963Gillies (1964)34608828249085121524...19426224883789463551
23112133376Jun. 2, 1963Gillies (1964)28141120136973731333...67391476087696392191
24199376002Mar. 4, 1971Tuckerman (1971)43154247973881626480...36741539030968041471
25217016533Oct. 30, 1978Noll and Nickel (1980)44867916611904333479...57410828353511882751
26232096987Feb. 9, 1979Noll (Noll and Nickel 1980)40287411577898877818...36743355523779264511
274449713395Apr. 8, 1979Nelson and Slowinski85450982430363380319...44867686961011228671
288624325962Sep. 25, 1982Slowinski53692799550275632152...99857021709433438207
2911050333265Jan. 28, 1988Colquitt and Welsh (1991)52192831334175505976...69951621083465515007
3013204939751Sep. 20, 1983Slowinski51274027626932072381...52138578455730061311
3121609165050Sep. 6, 1985Slowinski74609310306466134368...91336204103815528447
32756839227832Feb. 19, 1992Slowinski and Gage17413590682008709732...02603793328544677887
33859433258716Jan. 10, 1994Slowinski and Gage12949812560420764966...02414267243500142591
341257787378632Sep. 3, 1996Slowinski and Gage41224577362142867472...31257188976089366527
351398269420921Nov. 12, 1996Joel Armengaud/GIMPS81471756441257307514...85532025868451315711
362976221895832Aug. 24, 1997Gordon Spence/GIMPS62334007624857864988...76506256743729201151
373021377909526Jan. 27, 1998Roland Clarkson/GIMPS12741168303009336743...25422631973024694271
3869725932098960Jun. 1, 1999Nayan Hajratwala/GIMPS43707574412708137883...35366526142924193791
39134669174053946Nov. 14, 2001Michael Cameron/GIMPS92494773800670132224...30073855470256259071
40209960116320430Nov. 17, 2003Michael Shafer/GIMPS12597689545033010502...94714065762855682047
41?240365837235733May 15, 2004Josh Findley/GIMPS29941042940415717208...67436921882733969407
42?259649517816230Feb. 18, 2005Martin Nowak/GIMPS12216463006127794810...98933257280577077247
43?304024579152052Dec. 15, 2005Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS31541647561884608093...11134297411652943871
44?325826579808358Sep. 4, 2006Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS12457502601536945540...11752880154053967871
45?3715666711185272Sep. 6, 2008Hans-Michael Elvenich/GIMPS20225440689097733553...21340265022308220927
46?4311260912978189Aug. 23, 2008Edson Smith/GIMPS31647026933025592314...80022181166697152511




İnsanoğlunda keşfetme merakı oldukça, bu tabloya yeni Mersenne sayılarının katılacağı aşikar...

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder

yorumlarınızın okunduğuna emin olun:) Erhan DUMAN

Yorum Gönder