Liouville'nin Waring Problemine Katkısı

19. yüzyılın Fransız matematikçilerinden Liouville, her sayma sayısını dört tamkare toplamı olarak ifade eden teoreme dayanarak, her sayma sayısının 53 tane dördüncü kuvvetin toplamı olarak gösterilebileceğini ispat etmiştir.Liouville'in çıkış noktası, aşağıdaki özdeşliktir:




Liouville bu özdeşliği şöyle kullanmıştır:

n herhangi bir sayma sayısı olsun.Bunu en çok 53 tane dördüncü kuvvetin toplamı olarak göstereceğiz.Öncelikle bu sayıdan,

28=6.4+4

toplamına göre, y; 0,1,2,3,4,5 kalanlarından biri olmak üzere,

n=6.x+y

olsun.Liouville, Fermat teoremini x'e uygulamak üzere birinci defa kullanıyor:Her sayma sayısı en çok dört karenin toplamı olarak gösterilebileceğinden,

x=a^2 + b^2 + c^2 + d^2

şeklinde yazılabilir.O halde,

n=6x+y=6(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)+y
=6a^2 + 6b^2 + 6c^2 + 6d^2 + y

olur.Sonra, Liouville, eşitlikteki herbir, a,b,c,d sayısına tekrar Fermat teoremini kullanıyor.Buna göre;

a=a1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2
b=b1^2 + b2^2 + b3^2 + b4^2
c=c1^2 + c2^2 + c3^2 + c4^2
d=d1^2 + d2^2 + d3^2 + d4^2

ve sonunda;

n=6.(a1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2) + ... + 6.(d1^2 + d2^2 + d3^2 + d4^2)

elde edilir.Şimdi en baştaki özdeşliği bu eşitliğe uygularsak;

(a1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2) den 12 tane dördüncü kuvvetin toplamı çıkar.Benzer olarak, toplamda 4.12=48 tane toplam elde ettik.y nin de alabileceği kalan değerleri de 5 tane olduğundan toplma 48+5=53, yani en çok 53 dördüncü kuvvet toplamıyla amacımıza ulaşmış oluyoruz.