3.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1961)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.

x + y + z = a
x^2 + y^2 + z^2 = b^2
x.y = z^2

Burada a ve b sabitlerdir.x,y,z sistemin çözümlerinin pozitif ve farklı sayılar olması için a ve b nin sağlanması gereken koşulları veriniz.

2)a,b,c bir üçgenin kenarları ve T de bunun alanı olsun.

a^2 + b^2 + c^2 ≥ 4√3.T olduğunu ispatlayınız.Hangi halde eşitlik geçerlidir?

3)(cosx)^n -(sinx)^n =1 denklemini çözünüz.(n doğal sayıdır)

4)P1P2P3 üçgenini ve üçgenin bir P iç noktasını gözönüne alınız.P1P , P2P , P3P karşı kenarları sırasıyla Q1 , Q2 , Q3 de kesiyorlar.

P1P/PQ1 , P2P/PQ2 , P3P/PQ3

sayılarından en az birinin ≤ 2 ve en az birinin ≥ 2 olduğunu gösteriniz.

5)IACI=b , IABI=c ve m(AMB)=φ olan üçgeni çiziniz.Burada M; [BC] nin ortası ve φ<90>
olduğu zaman
b.tan(φ/2)≤c
varlığını gösteriniz.Hangi halde eşitlik geçerlidir?

6)Bir E düzlemi ve aynı tarafında doğrusal olmayan A,B,C noktalarını gözönüne alınız, bu üç nokta tarafından belirlenen düzlemin E düzlemine paralel olmadığını varsayınız.E düzleminde; keyfi üç A' , B' , C' noktalarını alınız.L , M , N ; AA' , BB' , CC' nün orta noktaları ve G de LMN üçgeninin ağırlık merkezi olsun.
(A', B', C' nün ; L, M, N nin üçgen oluşturmaması halini gözönüne almayacağız)
A', B', C'; E düzlemi üzerinde bağımsız değişirken, G nin geometrik yeri ne olur?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.soruya yorum olarak gönderilen cevap aşağıdadır:
Gönderen:newzad